1 . 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
(1)设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
(2)设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.

2 . 已知，直线为原点，点在上，直线与交于点在直线上，且，点的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线，其中是的渐近线，如图所示．设是上一点，则（       ）

   

A．

B．存在异于原点的点，使得关于点的对称点仍在上

C．若在第二象限，则的最大值为

D．若在第一象限，则直线的斜率大于

3 . 设集合，记中元素的个数为，数列的前项和为．
(1)求的值；
(2)当时，从中随机取出一个元素，求以为长度的三条线段为边能构成一个三角形的概率；
(3)求．
参考公式：．

5 . 如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，
若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，
（）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．

7 . 若数列只由个1和个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0，此后每两个相邻的1之间有奇数个0，则称数列为型布尔数列.
(1)写出所有的型布尔数列和所有的型布尔数列；
(2)记型布尔数列的总个数为；
①证明：，其中且；
②令，其中且，证明：.

8 . 身份证号码是我国公民最常用的代码，共有18位，其中前17位代码都是0﹣9的数字，第18位代码，又称为校验码，为0﹣9或罗马数字X（值为10），校验码是由前17位数字所决定的，确定规则如下：若某人身份证号为，在前17位代码已生成的情况下，校验码使得M除以11所得的余数始终为1，其中．例如甲的身份证号为230101203010101230（非实例），则.
(1)若乙的身份证号前17位是23010120301014231，校验码未知，根据表格中数据求乙身份证号的校验码；

位次（n）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
除以11的余数	7	9	10	5	8	4	2	1	6	3	7	9	10	5	8	4	2	1

(2)丙的身份证号后四位数中有一位记错了，若丙记得自己的身份证号为230101203010143018，已知该错误的身份证号计算得到的M为11的整数倍，请写出有可能成为他身份证号后四位的所有结果；
(3)已知丁的身份证号为23010120301014______   ______1______，若第15和16位数码是随机产生的，设校验码的数值为随机变量X，求X的分布列及E（X）．

9 . 若函数在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间上的“可加函数”单调递减，证明：；
(2)若对任意及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；
(3)设随机变量的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.