1 . 有位卖西瓜的师傅卖西瓜不称重，分大瓜小瓜卖，大瓜30元一个，小瓜10元一个．大瓜小瓜尺寸差别不是很大，很多人都拼命的往小瓜那边挤．而王先生让他太太买大的，王太太看别人都在抢小瓜，不解道：“大瓜是小瓜价格的3倍呢？”．王先生笑着说：“吃瓜吃的是什么？吃的是体积．买大的赚．”王太太又疑问道：“那大瓜皮更多呢？”王先生又笑道：“你别忘了那小瓜的瓜皮是3个瓜的，而大瓜只有1个，大瓜的瓜皮总的表面积更小”．假设西瓜均为球形，若王先生所说属实（即同等价格的大瓜的体积更大，但表面积更小），那么小瓜和大瓜的半径比值只可能是下列四个选项中的哪一个？（       ）

A．

B．

C．

D．

2 . 小波到一个广告公司去应聘包装设计师职位，考官给大家出了一道题目:某礼品厂生产一种棱长为a的正四面体形状的礼品（如图）.请你为它设计一个包装盒，形状随意，可提出不同方案供考官选择（不考虑包装盒材料的质量、厚度、重量及接缝处损耗）
   
(1)小波给出了长方体和圆柱两个设计方案（如图），请分别计算这两个包装盒的表面积；
(2)考虑到礼品各面易碎，礼品较大，包装盒体积不能太大，但礼品各面与包装盒表面之间需要有填充物，请你帮小波设计一个方案.（需要面图表示，并配以简单说明理由）

3 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.

   

(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.

4 . 在解决问题：“证明数集没有最小数”时可用反证法证明：
假设是中的最小数，则存在，
可得：，与假设中“a是A中的最小数”矛盾，
所以数集没有最小数.
那么对于问题：“证明数集，并且没有最大数”，也可以用反证法证明：我们可以假设是中的最大数，则存在，且，其中的一个值可以是__________（用、表示），由此可知，与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.

5 . 空间向量基本定理
定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得__________________．其中，把叫做空间的一个_________，，，都叫做_________，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

6 . 云南某小区抽取年龄在2-22岁100人做核酸检测由于工作人员不小心画出直方图后把原始数据丢失

(1)估算抽取人群的平均年龄.
(2)一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.试估计此样本数据的第50百分位数.
(3)用分层抽样的方式从第一组（年龄在2-6岁）和第五组（年龄在18-22岁）中一共抽取5人再从5人中任选2人求两人的年龄差不超过4岁的概率.

7 . 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；②，，；③，，，．
(2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．

8 . 二十大正式开幕，二十大报告中，“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”作为一章被单独罗列了出来，过去十年是生态文明建设和生态环境保护认识最深、力度最大、举措最实、推进最快、成效最显著的十年，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．目前，居民用户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示），阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．

阶梯	用户用水量（吨）	综合水价 （元／吨）	其中
			自来水费 （元／吨）	污水处理费 （元／吨）
第一阶梯	0～144（含）	3.50	2.50	1.00
第二阶梯	144～204（含）	7.00	6.00
第三阶梯	204以上	9.00	8.00

(1)若一户家庭一年所交水费为756元，问其一年用水多少吨；
(2)将居民缴纳的污水处理费视为污水处理厂的收入，一个中型污水处理厂的月处理污水量在30万吨到300万吨之间，中型污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为，问该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理利润最大？

9 . 判断正误（正确的写正确，错误的写错误）
（1）基底中的向量不能为零向量．(      )
（2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(      )
（3）若不共线，且，则.　(      )
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．(      )

10 . 新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2021年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按分组，制成以下频率分布直方图.

（1）由所给的频率分布直方图：
①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)
②记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.
（2）为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.