1 . 已知数列的各项均为正数，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，是否存在正整数m；使得成立，并说明理由．
(3)设，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．

2 . 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．

3 . 已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

4 . 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．

5 . 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．

一名建模爱好者收集数据整理如下：
1．车长设为，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；
2．加速度记作，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；
3．前后车启动延迟时间记为，取；
4．第辆车启动延迟时间为；
5．该十字路口限速，换算为；
6．第辆车到达最高限速的时间为取．
设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：
(1)求；（结果保留一位小数，单位：）
(2)对于第辆车，写出函数的分段表达式；
(3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．

6 . 如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆．

(1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来；
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？

7 . 在中，已知边上的中线长为．
(1)求证：；
(2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角．

8 . 某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
．教学楼的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．

(2)小李获得了以下信息：
．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．

9 . 在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲．在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则双方均不得分．但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球．
(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为，且各回合相互独立．若第一回合该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率；
(2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设：
假设1：各回合比赛相互独立；
假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为；
求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？

10 . 甲、乙两位气步枪运动员在射击队内的选拔赛成绩茎叶图如右：

(1)求甲、乙两名选手射击的平均环数；
(2)请用具有统计意义的数量来刻画甲、乙两位运动员的射击成绩的稳定性，并帮助射击队选拔一名运动员外出参加比赛．