1 . 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了．
(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）

2 . 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点点，的中线与轴交于点且圆经过三点．

(1)求圆心的坐标：
(2)若直线与圆相切于点交轴于点求直线的函数表达式：
(3)在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点过点作轴，交直线于点．若以为半径的圆与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．

3 . 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长.（结果保留根号）

4 . 已知函数（为常数）．设自变量x取时，y取得最小值．
(1)若，，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离；
(3)当，且时，分析并确定整数a的个数．

5 . 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 (单位：m)，与墙平行的一边长为 (单位：m)，面积为 (单位：)．

(1)直接写出与，与之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由．
(3)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？

6 . 已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)当时，证明：，；
(3)是希腊字母，即的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于，如．证明：．

7 . 某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和．
(1)求总样本方差；
(2)从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率．

8 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

9 . 已知向量，，点，，直线PD，QD的方向向量分别为，，其中，记动点D的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)直线l与E相交于A，B两点，
（i）若l过原点，点C为E上异于A，B的一点，且直线AC，BC的斜率，均存在，求证：为定值；
（ii）若l与圆O：相切，点N为AB的中点，且，试确定圆O的半径r.

10 . 袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．