1 . 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点（）在椭圆上，若点，分别在直线，上.
(1)求的值；
(2)连接并延长交椭圆于点，求证：，，三点共线.

2 . 已知为方程的解，，
(1)求证：.
(2)求的值.

3 . 已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形.

(1)如图1，即为黄金三角形尺规作图.已知，求长为______，为______.
(2)如图2，即为正五边形尺规作图.求证：五边形（所作图形）即为正五边形.
(3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形.简要叙述作图方法，无需作图.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，过上的点作切线，分别与直线，交于点，圆与轴交于点．
   
(1)若点坐标是，求直线的方程；
(2)若是圆上的动点，证明：两条动直线的交点总在同一个椭圆上，并求出椭圆的方程．

5 . 如图所示，在 中，点 在 边上，点 在线段 上．

(1)若．
①如图1，若 ，，过 作 于点 ，直接写出 的值为                             ；
②如图2，若 ，求 的值．
(2)如图3，已知 为 的角平分线，，，直接写出线段 的长度．

6 . 求证：数列中一定有2022的倍数．

7 . 设是正整数，
(1)求证：当时，
(2)求证：当时，

8 . 已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P．

(1)如图1，若，求线段DE的长度；
(2)如图2，若，求；
(3)如图3，连接AP，若，求PB的长度．

9 . 设点是直线上的一个动点，为坐标原点，过点作轴的垂线．过点作直线的垂线交直线于.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过曲线上的一点（异于原点）作曲线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

10 . 已知数列是等差数列，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列、的公差均为，且存在正整数，使得，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，设，记数列的前项和为，问：是否存在自然数，使得成立？说明理由.