1 . 2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频．Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“Python编程语言”考试合格得4分，否则得0分；“数据结构算法”考试合格得6分，否则得0分．
已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7．
(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．

2 . 新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项．

3 . 一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲成功跳过该高度的概率为，且每次跳高相互独立.
(1)记甲在这次比赛中跳的次数为，求的概率分布和数学期望；
(2)已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.

4 . 分别根据下列两个实际背景
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)求函数的值域.
背景1：在国内投递外埠平信，每封信不超过付邮资80分，超过不超过付邮资160分，超过不超过付邮资240，依此类推，每的信应付邮资（单位：分）.
背景2：如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线.移动一周后，回到点.设点移动的路程为，的面积为.
   

5 . 在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：

A校	6	14	50	30
B校	14	26	38	22

(1)若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关；

	数学成绩不优秀	数学成绩优秀	总计
A校
B校
总计

(2)在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．

	0.10	0.01	0.001
	2.706	6.635	10.828

6 . 某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）

   

(1)求两点之间的距离；
(2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由．

7 . 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，以信息通信技术融合应用､全要素数字化转型为重要推动力，促进公平与效率更加统一的新经济形态，是继农业经济､工业经济之后的更高级经济阶段.它在技术层面包括大数据､云计算､物联网､区块链､人工智能､5G通信等新兴技术；在应用层面，“新零售”､“新制造”､工业互联网､元宇宙､无人驾驶､智慧城市等都是其典型代表.2022年中国数字经济规模达50.2万亿元，总量稳居世界第二，占GDP比重提升至41.5%.2023年3月14日宁夏印发了《数字宁夏“1244+N”行动计划实施方案》，提出围绕数字宁夏建设，加快全国一体化算力网络国家枢纽宁夏节点和国家（中卫）新型互联网交换中心建设，大力实施数字产业化､产业数字化､数字化政务､数字化社会“四化”工程，培育引进一批生产和运用数字的企业，加快推动我区经济社会高质量发展，使得2023年全区数字信息产业产值达到850亿元，数字经济占GDP比重达到36%左右.为响应政府号召，支持数字宁夏建设，某大型科创公司将其研发的一款物联网产品授权给银川市数字经济领域某小微企业进行生产销售，据测算，该小微企业每月生产x件产品的成本P由两部分费用构成：第一部分是与每月生产该产品的件数x无关的固定成本（如专利使用费､授权费､厂房租金等），总计9万元；第二部分是生产该产品所需的变动成本元.
(1)该企业每月生产多少件产品时，可使得平均每件产品所需的成本费用最少？此时每件产品的成本费用是多少？
(2)因该产品投放市场后反响强烈，供不应求，因此该小微企业加快了生产的进度.企业每月生产x件，每件产品售价定为元，且每月生产出的产品全部都能售出，该企业的月产量x与设备利用率成正比，且该企业设备利用率达100%时的月产量为5000件，则该企业的设备利用率至少达到多少百分比时，才能确保月利润L不少于12万元？

8 . 为了营造“全民健身”的休闲氛围，银川市政府计划将某三角形健身场所扩建为凸四边形，原来的健身区域近似为等腰直角三角形，施工图纸如下图所示（长度已按一定比例尺进行缩小），你能否运用所学知识解决下面两个问题.

   

(1)若与的长度和为12，当时，求扩建的区域的面积最大值；
(2)若最终敲定方案为，求扩建后四边形面积的最大值.

9 . 甲、乙两名射击运动员在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的成绩如图所示．请从平均情况和稳定程度两方面对甲、乙两人的射击水平进行评价．

10 . 某数学教师为了调查学生寒假期间的学习情况，从本校随机选取了名学生进行跟踪调查，统计了他们平均每天学习数学的时间（单位：分钟），分成五组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计这名参与调查的学生平均每天学习数学的时间的平均数和中位数（结果保留整数）；
(2)为了了解学生在学习数学方面存在的困难，该教师计划从平均每天学习数学的时间不足70分钟的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别交流.
（i）用适当的方法列出所有的基本事件；
（ii）求选取的两人中恰有1人平均每天学习数学的时间在区间[60，70）内的概率．