1 . 如图，在中，为边上一点，与分别为和的平分线.

(1)判断是什么三角形，并证明你的结论；
(2)比较与的大小；
(3)以为直径的交于点，连接与交于，若，，求证：，并求的值.

2 . 定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:
(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；
(2)①求有序数组、、、的波动距离；
②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.

3 . （1）已知a､b､c是不全相等的正数，且.求证：.
（2）用反证法证明：若函数在区间上是增函数，则方程在区间上至多只有一个实数根.

4 . 已知O为直线外一点，
（1）若，求证：A、B、C三点共线；
（2）若O为坐标原点，，判断的形状，并给予证明．

5 . （1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）；
（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）；
（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）.

6 . 若对于任意，，使得，都有，则称是W陪伴的．
(1)判断是否为陪伴的，并证明；
(2)若是陪伴的，求a的取值范围；
(3)若是陪伴的，且是陪伴的，求证：是陪伴的．

7 . 我们用，，，…，（，且）表示n个变量，就如同a、b、c、d、e、f等表示变量一样．已知，，，…，（，且）均为正数．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)请将命题（1）、（2）推广到一般情形（不作证明）．

8 . 已知等边和等腰，，.

（1）如图①，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，求证：；
（2）如图②，点D在内部，点E在外部，P是BE的中点，连接AD､PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，若点D在内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且为定值，当PD最大时，请直接写出的度数.

9 . （1）请用文字语言叙述平面与平面平行的判定定理；
（2）把（1）中的定理写成“已知：求证：”的形式，并用反证法证明；
（3）求两条异面直线之间的距离问题，除了可以转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离.写出两个平行平面的构造方法，并说明为什么两条异面直线之间的距离就等于这样两个平行平面之间的距离

10 . 用向量的方法证明勾股定理．

（变式）
证明：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：c²＝a²＋b².