1 . 已知都是正实数，且.
(1)证明：必在和之间；
(2)请问：和这两个数，哪一个更接近于，说明你的理由；
(3)请你再写出一个式子，使得它的值比和的值更接近于.

2 . 如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足.

(1)证明：为中点；
(2)过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；
(3)直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为.证明：若三线共点，则；反之也成立.

3 . 已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得.

(1)证明：；
(2)证明：；
(3)若，求四边形的面积.

4 . 射影几何的奠基人之一，法国数学家庞斯莱（1788-1867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动.与等长，，，，等长，并且，使用时，将，钉牢在平板上，并使，间的距离等于木棍的长，绕点转动点，则点在一个圆上运动，点就会在一条直线上运动.这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏.问题探究：爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点在上运动时，点在一条直线上动，而且与垂直，垂足为，怎么来说明这个结论呢？小明百思不得其解时，聪明的考生请你帮帮小明.问题解决：
   
(1)求证：，，在一条直线上；
(2)求证：点在一定直线上运动.

5 . （1）已知实数满足，试证明：.（为正整数，且）
（2）试解下列方程：①
②

6 . 求证：从抛物线焦点射出的光线经过抛物线反射后与抛物线对称轴平行．

7 . 如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．

8 . 若一个定义域为区间D的函数满足：对于D内任意的、（），自变量、、对应的函数值分别为、、，都有成立，则称该函数是区间D上的“函数”．
(1)判断函数（）是否是“函数”？并说明理由；
(2)已知，求证：对数函数是“函数”．

9 . 设为素数，记，试问当时，能否作为三角形的三边长？证明你的结论.

10 . 已知，，，，若是的充分条件．
(1)求m的取值范围；
(2)求证：函数的图像在x轴的下方．