1 . 两次购买同一种商品，不考虑物价变化，两次价格依次为，有两种购买方案：
方案一：第一次购买数量c，第二次购买数量d，；
方案二：第一次购买数量d，第二次购买数量c，）．
(1)哪种方案更经济？说明理由；
(2)若两次价格之间关系，两次购买数量之间满足关系，记两种方案中总费用较大者与较小者的差值为数学经济值s，求该数学经济值s的最小值．

2 . 不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p₁，第二周采购时价格是p₂.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.

3 . 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.
(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：）
(2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案：
①方案一：每天回报40元；
②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
你会选择哪种方案？请说明你的理由.

4 . 疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有个红球、个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供、两种活动规则：规则：顾客一次性从袋子中摸出个球，如果个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中有个红球，则获得价值元的优惠券；如果摸出的个球中没有红球，则不享受优惠．规则：顾客分次从袋子中摸球，每次摸出只球记下颜色后放回，按照次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则相同．
(1)某顾客计划消费元，若选择规则参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；
(2)若顾客计划消费元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．

5 . 某商店销售、两种商品，售价分别为元件、元件．五一期间，该商店决定对这两种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件商品和件商品，根据以上信息，回答下列问题：

(1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）；
(2)当时，说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？

6 . 将圆锥侧面展开得到扇形AOB（图1），已知扇形AOB的半径和面积分别为2，，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.现有两个实验小组，他们分别采用两种方案，方案一：如图2所示，将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上；方案二：如图3所示，两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上.

(1)求圆锥的体积；
(2)比较两种方案，哪种方案更优？并谈谈两种方案的区别与联系.

7 . 某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．
(1)若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列和数学期望；
(2)若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大?

8 . 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

9 . 小华和小李进行比赛，小华属于弱者，即每一局赢的概率小于，请你帮小华出出主意，A方案：一局定胜负，B方案：三局两胜，三局结束，请你判断哪种方案更有利于小华?

10 . 一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：

设备编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
改造前	22	26	32	17	28	27	34	27	18	23	20	36	26	24	34	40	25	21	25	24
改造后	28	33	39	26	25	35	38	34	43	24	40	35	29	33	35	37	31	41	31	33

(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？

	设备连续正常运行天数超过30天	设备连续正常运行天数未超过30天	合计
改造前
改造后
合计

(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工天的总损失额记为（单位：元）满足，现有两种维修方案（一天完成维修）可供选择：
方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；
方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．
现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第天得到维修的数据如下：

	1	2	3	4
频数	10	30	40	20

将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？
，

	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828