1 . 设非零向量，，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

2 . 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设为正整数，求证：．
证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有．
那么当时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有，
那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．

3 . 若函数的定义域为，且对于任意的、，“”的充要条件是“”，则称函数为上的“单值函数”.对于函数，记
，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定.
(1)若，函数的定义域为，求和；
(2)若函数的定义域为，且存在正整数，使得对任意的，，求证：函数为上的“单值函数”；
(3)设，若函数的定义域为，且表达式为：
判断是否为上的“单值函数”，并证明对任意的区间，存在正整数，使得.

4 . 小明在学习矩形时发现：在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点，若，则平分.他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
   

(1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点；（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点.求证：平分；
证明：四边形是矩形，
，
①_________________.
，
，
，
②_________________.
又，③_________________，
④_________________.
.
又，
，
.
⑤_________________，
.
.
平分.

5 . 在平面直角坐标系xoy中，已知 ，圆C：与x轴交于O ，B．
(1)证明：在x轴上存在异于点A的定点，使得对于圆C上任一点P，都有为定值；
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过（1）中的点作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动．

6 . 已知：如图，等腰三角形中，，，直线经过点（点、都在直线的同侧），，，垂足分别为、.
   
(1)求证：；
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系，并证明.

7 . 阅读材料：
(1)下侧图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加得越多，溶液越咸”这句话，用
代替溶质，
代替溶液，
代替添加的溶质并证明.
(2)结合（1）中的不等式关系与
，
，则有
的不等式性质.解答问题：已知
，
，
是三角形的三边，求证：
.
   

8 .
(1)证明：存在唯一的零点，且
(2)若的零点记为，设，求证

9 . 如图，在正方形ABCD中，.求证：.

证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴.∴.
   
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究

   
(1)【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.
(3)【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.

10 . 已知数列满足，且
(1)求数列的通项公式.
(2)设，其中e是自然对数的底数，求证：
(3)设为数列的前项和，实际上，数列存在“极限”，即为：存在一个确定的实数S，使得对任意正实数u都存在正整数m满足当时，（可以证明S唯一），S称为数列的极限.试根据以上叙述求出数列的极限S.