1 . 已知椭圆的长轴为4，直线与圆相切于点，与相交于，两点，且，，.
(1)记的离心率为，证明：；
(2)若轴右侧的点在上，且轴，，是圆的两条切线，切点分别为，（在上方），求的值.

2 . 2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．
   
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．

3 . 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线l：上，圆D与直线l相切，，且线段OE为圆C与圆D的公共弦．
(1)分别求圆C与圆D的标准方程；
(2)若直线m：与圆C、圆D分别交于异于原点的两点Q，P，求证：以线段PQ为直径的圆M恒过定点E．

4 . 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．
(1)求y关于x的函数；
(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；
(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？

5 . 已知函数的图象可由函数（且）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且.
(1)求的值；
(2)若函数，证明：；
(3)若函数与在区间上都是单调的，且单调性相同，求实数的取值范围.

6 . 双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.
   
(1)求抛物线的方程；
(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.

7 . 已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.

8 . 向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.

(1)已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明：

(2)如图，已知圆
，A，B；是圆O上两个动点，点
，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程.

9 . 设函数．
(1)是否存在，使得对恒成立？若存在，试给出一个符合题意的实数并加以证明；若不存在，请说明理由；
(2)若时，求的值域．

10 . 如图所示，在等边三角形中，平分，点为边上一动点（与点，不重合），满足，连接.
       
(1)如图①所示，若，，求.
(2)如图②所示，取的中点，连接，，，探究线段与的位置与数量关系.
(3)如图③所示，把图②中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为的中点，连接，，，问（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.