1 . 设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．

2 . 设正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式.
(2)设，求证：．

3 . 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列满足，求证：．

4 . 记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)证明：数列为常数列；
(2)求数列的前n项和．

5 . 已知数列满足，且的前100项和
(1)求的首项；
(2)记，数列的前项和为，求证：.

6 . 已知数列满足，且.
(1)证明：是等差数列.
(2)设，求数列的前项和.

7 . 已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：时，.

8 . 某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
(1)求随机变量的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（i）求随机变量的分布列
（ii）证明.

9 . 已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，证明：.