1 . 如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．

（1）求证：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．

2 . 如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB₁的中点．

（1）证明：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）若BB₁＝1，证明：C₁D⊥平面ADE．

3 . 在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点E满足．

（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的余弦值．

4 . 已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标是，3，，求向量在基底下的坐标．

5 . 设空间向量，5，，，1，．
（1）计算，，的值，并求与所成角的余弦值；
（2）当、，满足什么条件时，使得与轴垂直．

6 . 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，如图建立空间直角坐标系.

（1）在四边形（包含边界）内找一点，使为等边三角形.
（2）在线段上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB=CE.

（1）求证:DE∥平面ACF；
（2）求异面直线EO与AF所成角的余弦值；
（3）求AF与平面EBD所成角的正弦值.

8 . 在边长是2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．

9 . 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁为正方形，四边形AA₁C₁C为菱形，且∠AA₁C＝60°，平面AA₁C₁C⊥平面AB₁BA₁，点D为棱BB₁的中点．

（1）求证：AA₁⊥CD；
（2）棱B₁C₁（除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B﹣A₁M﹣B₁的正弦值为，若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，AC₁和BD₁相交于点O，E为CC₁的中点．

（1）求证：OE∥平面ABCD；
（2）若B₁在平面ABCD上的射影为AC的中点．求平面BED₁与平面ABCD所成锐二面角的大小．