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1 . 记.
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数,均有.
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数,均有.
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2 . 已知数列共有项,且,若满足,则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
(1)当时,写出所有满足的“约束数列”;
(2)当时,设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件,并说明理由;
(3)当时,求的最大值.
(1)当时,写出所有满足的“约束数列”;
(2)当时,设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件,并说明理由;
(3)当时,求的最大值.
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解题方法
3 . 已知全集为,集合.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
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2024高三下·全国·专题练习
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4 . 已知,,求成立时需满足的充要条件.
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5 . 已知数列的各项均为正整数,记集合的元素个数为.
(1)若为1,2,3,6,写出集合,并求的值;
(2)若为1,3,a,b,且,求和集合;
(3)若是递增数列,且项数为,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
(1)若为1,2,3,6,写出集合,并求的值;
(2)若为1,3,a,b,且,求和集合;
(3)若是递增数列,且项数为,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
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6 . 已知椭圆,圆.
(1)点是椭圆的下顶点,点在椭圆上,点在圆上(点异于点),连,直线与直线的斜率分别记作,若,试判断直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
(2)椭圆的左、右顶点分别为点,点(异于顶点)在椭圆上且位于轴上方,连分别交轴于点,点在圆上,求证:的充要条件为轴.
(1)点是椭圆的下顶点,点在椭圆上,点在圆上(点异于点),连,直线与直线的斜率分别记作,若,试判断直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
(2)椭圆的左、右顶点分别为点,点(异于顶点)在椭圆上且位于轴上方,连分别交轴于点,点在圆上,求证:的充要条件为轴.
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7 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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8 . 已知集合,非空集合.
(1)当时,求;
(2)若是的必要条件,求m的取值范围.
(1)当时,求;
(2)若是的必要条件,求m的取值范围.
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9 . 对于任意实数,引入记号表示算式,即,称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式,其计算的结果叫做行列式的值.
(1)求下列行列式的值:
①;②;
(2)求证:向量与向量共线的充要条件是;
(3)讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件,并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).
(1)求下列行列式的值:
①;②;
(2)求证:向量与向量共线的充要条件是;
(3)讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件,并求出解.(结果用二阶行列式的记号表示).
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10 . 若数列在某项之后的所有项均为一常数,则称是“最终常数列”.已知对任意,函数和数列满足.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
(1)当时,证明:是“最终常数列”;
(2)设数列满足,对任意正整数.若方程无实根,证明:不是“最终常数列”的充要条件是:对任意正整数,;
(3)若不是“最终常数列”,求的取值范围.
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