1 . 对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当
时：若恒有
，则函数
关于直线
对称；若恒有
，则函数关于点
对称；②函数关于直线对称，
必为偶函数；若函数关于点对称，则
必为奇函数；③三次函数
一定有对称中心；四次函数
不一定有与
轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：
(1)求三次函数
的对称中心；
(2)若四次函数
有垂直于轴的对称轴，求
的值；
(3)若
，求
的值.
时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：(1)求三次函数
的对称中心；(2)若四次函数
有垂直于轴的对称轴，求的值；(3)若
，求的值.
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解题方法
2 . 已知函数
.
(1)用单调性定义证明：
在
上单调递增；
(2)若函数
有3个零点
，满足
，且
.
①求证：
；
②求
的值（
表示不超过的最大整数）.
.(1)用单调性定义证明：
在上单调递增；(2)若函数
有3个零点，满足，且 .①求证：
；②求
的值（表示不超过的最大整数）.
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3 . 我们知道：设函数
的定义域为D，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“
，
”．有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于点(m,n)成中心对称图形”的充要条件是“，
”已知
．
(1)利用上述结论，证明：的图象关于点
成中心对称图形；
(2)判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式
．
的定义域为D，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”．有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为D，那么“函数的图象关于点(m,n)成中心对称图形”的充要条件是“，”已知．(1)利用上述结论，证明：
的图象关于点成中心对称图形；(2)判断
的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．
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4 . 对于函数
及实数m，若存在
，使得
，则称函数
与
具有“m关联”性质．
(1)若
与
具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)已知
，为定义在
上的奇函数，且满足；
①在
上，当且仅当
时，取得最大值1；
②对任意
，有
．
求证：
与
不具有“4关联”性．
及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质．(1)若
与具有“m关联”性质，求m的取值范围；(2)已知
，为定义在上的奇函数，且满足；①在
上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意
，有．求证：
与不具有“4关联”性．
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2024-01-24更新
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1159次组卷
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4卷引用：广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题
广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试题河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
解题方法
5 . 已知函数是定义在上的偶函数，且
的图象关于直线
对称．
(1)证明：是周期函数．
(2)若当
时，
，求当
时，的解析式．
是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．(1)证明：
是周期函数．(2)若当
时，，求当时，的解析式．
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名校
解题方法
6 . 已知函数
，满足
.
(1)求a的值，证明：函数在区间
单调递增；
(2)解关于x的不等式
.
，满足.(1)求a的值，证明：函数
在区间单调递增；(2)解关于x的不等式
.
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解题方法
7 . 如图，等腰直角
中，
，
，记位于直线（
）左侧的图形的面积为
.
(1)试求函数
的解析式；
(2)已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.已知函数
的定义域为
，且
.根据上述推论判断：函数
的图象是否存在对称中心；若存在，求出
与对称中心坐标；若不存在，请说明理由.
中，，，记位于直线（）左侧的图形的面积为.(1)试求函数
的解析式；(2)已知函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的定义域为，且.根据上述推论判断：函数的图象是否存在对称中心；若存在，求出与对称中心坐标；若不存在，请说明理由.
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名校
8 . 已知函数
，
．
(1)求的值域；
(2)已知“函数的图像关于点
对称”的充要条件是“
对于定义域内任何恒成立”．试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若对任意
，都存在
及实数，使得
，求实数
的最大值．
，．(1)求
的值域；(2)已知“函数
的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”．试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；(3)若对任意
，都存在及实数，使得，求实数的最大值．
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2023-12-20更新
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526次组卷
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2卷引用：福建省莆田市第一中学2023-2024学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试题
名校
9 . 设
，若函数定义域内的任意一个都满足
，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数
.
(1)证明：函数
的图象关于点
对称；
(2)已知函数
的图象关于点
对称，当
时，
.若对任意的
，总存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.(1)证明：函数
的图象关于点对称；(2)已知函数
的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
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10 . 如果函数
满足：对定义域内的所有x，存在常数a，b，都有
，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点
．已知函数
的图象经过点
．
(1)求实数m的值；
(2)试探究
的值并根据该关系式写出函数的对称中心；
(3)设
，若函数的图象和函数的图象有且仅有两个交点，且其横坐标分别为
，求
．
满足：对定义域内的所有x，存在常数a，b，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点．已知函数的图象经过点．(1)求实数m的值；
(2)试探究
的值并根据该关系式写出函数的对称中心；(3)设
，若函数的图象和函数的图象有且仅有两个交点，且其横坐标分别为，求．
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