1 . （1）已知函数，证明：，，．
（2）已知函数，定义：若存在，，使得曲线在点与点处有相同的切线，则称切线为“自公切线”．
①证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
②讨论曲线的“自公切线”的条数．

2 . 已知函数，记的图象为曲线C．
(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值；
(2)求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M．

3 . 已知函数.
(1)当时，求证：
①当时，；
②函数有唯一极值点；
(2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值.

4 . 已知抛物线与双曲线交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．

(1)证明：存在两条中线互相垂直；
(2)求的面积．

5 . 已知（，，，为常数）和点，直线为函数在处的切线方程．
(1)若，，求函数的极值；
(2)若，，，试证明：当时，过点可以作3条不同的直线与相切；
(3)上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由．

6 . 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.
(1)若，判断集合是否为空集，并说明理由；
(2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；
(3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.

7 . 设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.

8 . 设，，函数与在x＝0处有相同的切线．
(1)求a的值；
(2)求证：当时，；
(3)若一个盒子里装有n（且）个不同的彩色球，其中只有一个白球，每次从中随机抽取一个，然后放回，只要取到白球就停止抽取，记抽取2次就中止的概率为，抽取3次就中止的概率为，设（且），求证：．

9 . 若两个函数与在处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点为.
(1)判断函数与是否相切；
(2)设反比例函数与二次函数相切，切点为.求证：函数与恰有两个公共点；
(3)若，指数函数与对数函数相切，求实数的值；
(4)设（3）的结果为，求证：当时，指数函数与对数函数的图象有三个公共点.

10 . 已知函数，，在处取得极大值1.
（1）求和的值；
（2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围.
（3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线.