1 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．

2 . 设，，为数列的前项和，令，，．
(1)若，求数列的前项和；
(2)求证：对，方程在上有且仅有一个根；
(3)求证：对，由（2）中构成的数列满足．

3 . 假设直线与曲线相切，若切点唯一，则称直线与曲线单切；若切点有两个，则称直线与曲线双切；若还与曲线相交，则称直线与曲线交切.已知函数，则（       ）

A．直线与曲线双切

B．直线与曲线单切

C．直线与曲线交切

D．存在唯一的直线，与曲线单切且交切

4 . 如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是（       ）
   

A．正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍

B．存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等

C．正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大

D．当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点

5 . 函数的导函数为，若在的定义域内存在一个区间在区间上单调递增，在区间上单调递减，则称区间为函数的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间是其一个渐缓增区间，那么实数的取值范围是______．

6 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

7 . 已知点，（）是函数（）图象上两点，则（       ）

A．对任意点A，存在无数个点B，使得曲线在点A，B处的切线倾斜角相等

B．若存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则

C．若对于任意点A，B，直线AB的斜率恒小于1，则a的取值范围是

D．若且曲线在点A，B处的切线都过原点，则

8 . 若一个函数在区间上的导数值恒大于0，则该函数在上纯粹递增，若一个函数在区间上的导数值恒小于0，则该函数在上纯粹递减，则（       ）

A．函数在上纯粹递增

B．函数在上纯粹递增

C．函数在上纯粹递减

D．函数在上纯粹递减

9 . 共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强）．给出下列四个结论：
①过定点；
②在上单调递增；
③关于对称；
④取定x，外部性强度a越大，越小．
其中所有正确结论的序号是___________．

10 . 已知函数，将曲线绕原点逆时针旋转，得到曲线.
(1)证明：存在唯一的实数，使得曲线是某个函数的图形，并求出；
(2)取，设是曲线图象上任意一点，将曲线绕点逆时针旋转，得到函数曲线，设函数的极小值为，求的单调性.