1 . 理科已知函数，当时，函数取得极大值.
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

2 . 已知定义在R上的函数的图象关于原点对称，且时，取得极小值.
（1）求的解析式；
（2）当时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）设时，求证：|．

3 . 设函数f（x）图象关于原点对称，且x＝1时，取极小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[﹣1，1]时，求证：．

4 . 已知函数，.
（1）当时，求证：；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围.

5 . 已知.证明：
(1)若函数有极大值，则；
(2)若函数没有极值点，则对任意的，都有；
(3)若，则在区间内有且仅有一个实数，使得.

6 . 已知函数．
（1）若的极大值为，求的值；
（2）若，，求证：的切线不过原点．

7 . 已知函数有两个极值点．
（1）求的取值范围；
（2）求证：且．

8 . 已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数的范围；
（3）求证:当时，.

9 . 已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数既有极大值，又有极小值，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：
（3）设为整数，且对于任意的正整数，有 求的最小值.

10 . 已知函数，．、，
（1）讨论的单调性；
（2）已知函数的极大值为1，
①若，设，证明：；
②设，判断函数零点个数，并说明理由.