名校
1 . 已知函数
.
(1)若
在
上恰有2个零点，求
的取值范围；
(2)若
是
的零点（是
的导数），求证：
.
.(1)若
在上恰有2个零点，求的取值范围；(2)若
是的零点（是的导数），求证：.
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解题方法
2 . 已知函数
；
(1)当
时，证明：对任意
，
；
(2)若
是函数的极值点，求实数
的值．
；(1)当
时，证明：对任意，；(2)若
是函数的极值点，求实数的值．
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3 . 已知函数
，函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
，证明：存在唯一一条直线与曲线
和
均相切．
，函数．(1)若
，求函数的单调区间；(2)若
，证明：存在唯一一条直线与曲线和均相切．
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解题方法
4 . 已知
，
是函数
的两个零点，且
.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：
.
，是函数的两个零点，且.(1)求实数
的取值范围；(2)证明：
.
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名校
5 . 已知函数
.
(1)讨论的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b满足
，求证：
；
(3)若
，求证：
.
.(1)讨论
的单调性；(2)若两个不相等的正实数a，b满足
，求证：；(3)若
，求证：.
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2023-08-20更新
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1316次组卷
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8卷引用：四川省宜宾市南溪第一中学校2024届高三上学期一诊考试理科数学模拟试题
四川省宜宾市南溪第一中学校2024届高三上学期一诊考试理科数学模拟试题（已下线）专题07 函数与导数常考压轴解答题（12大核心考点）（讲义）天津市南开中学2025届高三上学期统练1数学试题湖北省高中名校联盟2024届高三上学期第一次联合测评数学试题广东省南澳县南澳中学2024届高三上学期校一模数学试题广东省广州市2024届高三上学期8月阶段训练数学试题（已下线）广东实验中学2024届高三上学期第一次阶段考试数学试题变式题19-22安徽省池州市第一中学2024届高三上学期 “七省联考” 数学模拟练习（1）
名校
解题方法
6 . 已知函数
，其中
是自然对数的底数．
(1)求函数
的单调区间和最值；(2)证明：函数
有且只有一个极值点；(3)当
时，证明：
．
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2024·山东威海·二模
名校
解题方法
7 . 已知函数
．
(1)求的极值；
(2)证明：
．
．(1)求
的极值；(2)证明：
．
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2024-05-15更新
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2778次组卷
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6卷引用：2024届山东省威海市高考二模数学试题
（已下线）2024届山东省威海市高考二模数学试题（已下线）第六套 艺体生新高考全真模拟 （二模重组卷）四川省成都市金堂县淮口中学校2024届高三下学高考仿真冲刺卷（一）文科数学试题陕西省西安市第一中学2024届高三第十六次模拟考试数学（文科）试题（已下线）重难点突破06 证明不等式问题（十三大题型）-1（已下线）3.4 导数的综合运用
8 . 已知函数
，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若
，证明：对任意
，存在唯一实数
，使得
，(1)讨论函数
的单调性；(2)若
，证明：对任意，存在唯一实数，使得
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2024-05-14更新
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558次组卷
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3卷引用：江西省重点中学协作体2024届高三第二次联考数学试卷
名校
9 . 已知函数
(1)当
时，求在
处的切线方程．
(2)设
分别为的极大值点和极小值点，记
，
；
①证明：直线
与曲线交于另一个点C；
②在①的条件下，判断是否存在常数
，使得
，若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：
，
(1)当
时，求在处的切线方程．(2)设
分别为的极大值点和极小值点，记，；①证明：直线
与曲线交于另一个点C；②在①的条件下，判断是否存在常数
，使得，若存在，求n；若不存在，说明理由．附：
，
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名校
解题方法
10 . 拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值.例如，为了得到
的近似值，我们对函数
进行多项式插值.设一次函数
满足
，可得在
上的一次插值多项式
，由此可计算出的“近似值”
，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式
满足
(1)求
，并证明当
时，
；
(2)若当时，
，求实数
的取值范围；
(3)利用计算的近似值，并证明其误差不超过
.
（参考数据：
；结果精确到0.001）
的近似值，我们对函数进行多项式插值.设一次函数满足，可得在上的一次插值多项式，由此可计算出的“近似值”，显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特（Hermite）插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足(1)求
，并证明当时，；(2)若当
时，，求实数的取值范围；(3)利用
计算的近似值，并证明其误差不超过.（参考数据：
；结果精确到0.001）
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