2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 函数与函数之间存在位置关系.已知函数
与
的图象在它们的公共定义域
内有且仅有一个交点
，对于
且
，
且
，若都有
，则称与关于点互穿；若都有
，则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为
，导函数分别为
与
，与的图象在上有且仅有一个交点
，与的图象在上有且仅有一个交点
.
(1)若
，
，试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回，证明：与关于点互穿且
在
上恒成立.
(3)研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：
（
为奇数）.
与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有，则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为，导函数分别为与，与的图象在上有且仅有一个交点，与的图象在上有且仅有一个交点.(1)若
，，试判断函数与的位置关系.(2)若
与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.(3)研究表明：若
与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：（为奇数）.
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名校
2 . 已知函数
，
.
(1)当
时，求
在区间
内极值点的个数；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)求证：
，
，
.
，.(1)当
时，求在区间内极值点的个数；(2)若
恒成立，求的值；(3)求证：
，，.
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2024-04-29更新
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1082次组卷
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4卷引用：湖南省长郡中学、浙江省杭州二中、江苏省南京师大附中三校2023-2024学年高三下学期联考数学试题
湖南省长郡中学、浙江省杭州二中、江苏省南京师大附中三校2023-2024学年高三下学期联考数学试题（已下线）专题9 利用放缩法证明不等式【练】（已下线）专题5 导数与不等式恒成立问题【练】广东省广州市广东实验中学2024届高三教学情况测试（一）数学B卷
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3 . 已知函数
．
(1)若
，讨论的单调性．
(2)若
，
，求证：
．
．(1)若
，讨论的单调性．(2)若
，，求证：．
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解题方法
4 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，e为自然对数的底数，
．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当
时，
；
(2)证明：对任意的正整数
；
(3)证明：e是无理数．
，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)证明：当
时，；(2)证明：对任意的正整数
；(3)证明：e是无理数．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，
为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设
，
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设实数
使得
对
恒成立，求的最大值．
，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)证明：
；(2)设
，证明：；(3)设实数
使得对恒成立，求的最大值．
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6 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，
，函数在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
.（注：
，
为
的导数）已知
在处的
阶帕德近似为
.
(1)求实数
的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)设为实数，讨论方程
的解的个数.
，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.(1)求实数
的值；(2)证明：当
时，；(3)设
为实数，讨论方程的解的个数.
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解题方法
7 . 已知函数
．
(1)若关于
的不等式
对于
恒成立，求的最大值；
(2)已知
，证明：
．
．(1)若关于
的不等式对于恒成立，求的最大值；(2)已知
，证明：．
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8 . 已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线
的下方；
(3)若函数
在区间
上无零点，求的取值范围.
(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)求证：函数
的图象位于直线的下方；(3)若函数
在区间上无零点，求的取值范围.
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2024-04-24更新
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433次组卷
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5卷引用：上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷
上海市松江二中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷（已下线）专题3 导数与函数的零点（方程的根）【讲】（已下线）专题05导数及其应用全章复习攻略--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题湖南省衡阳市第一中学2024年高二下学期期中考试数学试卷
9 . 已知函数
，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数与函数
有相同的最小值，求a的值；
(3)证明：对于任意正整数n，
（为自然对数的底数
，(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
与函数有相同的最小值，求a的值；(3)证明：对于任意正整数n，
（为自然对数的底数
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解题方法
10 . 意大利画家达
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)（i）证明：当时，
；
（ii）证明：
．
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．(1)求曲线
在处的切线斜率；(2)（i）证明：当
时，；（ii）证明：
．
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2024-04-18更新
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512次组卷
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5卷引用：江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（已下线）模块一 专题6 导数在不等式中的应用B提升卷（高二人教B版）河南省南阳市淅川县第一高级中学2024届高三下学期三模数学试题江苏高二专题03导数及其应用广西梧州市、忻城县2024届高中毕业班5月仿真考试数学试卷
