名校
解题方法
1 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理,它是研究区间上函数值变化规律的有效工具,其中拉格朗日中值定理是核心,它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续,在开区间可导,导数为,那么在开区间内至少存在一点,使得,其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若,求函数在上的“拉格朗日中值点”;
(2)若,求证:函数在区间图象上任意两点,连线的斜率不大于;
(3)若,且,求证:.
如果函数在闭区间上连续,在开区间可导,导数为,那么在开区间内至少存在一点,使得,其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若,求函数在上的“拉格朗日中值点”;
(2)若,求证:函数在区间图象上任意两点,连线的斜率不大于;
(3)若,且,求证:.
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2024-05-28更新
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537次组卷
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4卷引用:2024届山西省高考三模数学试题
2024届山西省高考三模数学试题江西省上饶市横峰中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(已下线)专题2 函数与导数新定义压轴大题(三)【讲】
2 . 牛顿(1643-1727)给出了牛顿切线法求方程的近似解:如图设是的一个零点,任意选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的1次近似值,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,称为的2次近似值.一般地,过点作曲线的切线,与轴的交点为横坐标为,就称为的次近似值,称数列为牛顿数列.(1)若的零点为,,请用牛顿切线法求的2次近似值;
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且.
(ⅰ)设,求的解析式;
(ⅱ)证明:
(2)已知二次函数有两个不相等的实数根,数列为的牛顿数列,数列满足,且.
(ⅰ)设,求的解析式;
(ⅱ)证明:
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2024-07-10更新
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483次组卷
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3卷引用:山东省青岛第三十九中学2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
解题方法
3 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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名校
4 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:.(注:,为的导数)已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值;
(2)证明:当时,;
(3)设为实数,讨论方程的解的个数.
(1)求实数的值;
(2)证明:当时,;
(3)设为实数,讨论方程的解的个数.
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2024-04-26更新
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622次组卷
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5卷引用:湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(已下线)专题12 帕德逼近与不等式证明【练】(已下线)湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷变式题16-19江苏省宿迁市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题
解题方法
5 . 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法,其过程如下:如图,设r是的根,选取x.作为r的初始近似值,过点作曲线的切线L,L的方程为.如果,则 L与x轴的交点的横坐标记为,称为r 的一阶近似值.再过点作曲线的切线,并求出切线与x轴的交点横坐标记为,称为r的二阶近似值.重复以上过程,得r的近似值序列:,根据已有精确度,当时,给出近似解.对于函数,已知.(1)若给定,求r的二阶近似值;
(2)设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系;
②证明:.
(2)设
①试探求函数h(x)的最小值 m 与r 的关系;
②证明:.
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解题方法
6 . 自然常数是自然对数的底数,是极为重要的常数,通常称为欧拉数.它的发现和研究跨越了多个世纪,涉及了众多数学家的贡献,从雅各布·伯努利的早期工作到莱昂哈德·欧拉的深入研究,再到现代数学家对其性质的进一步探索,充分展现了数学知识的积累和发展,以及数学精神的传承.瑞士数学家雅各布·伯努利于1683年通过研究复利首先发现,即是数列的极限.
(1)证明:;
(2)已知函数.
①若,证明:;
②讨论的极值点的个数.
(1)证明:;
(2)已知函数.
①若,证明:;
②讨论的极值点的个数.
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解题方法
7 . 拟合(Fittiong)和插值(Imorterpolation)都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数,并以此预测或估计未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据,适用于给定数据可能包含误差的情况,比如线性回归就是一种拟合方法;而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点.适用于需要高精度模型的场景,实际应用中常用多项式函数来逼近原函数,我们称之为移项式插值.例如,为了得到的近似值,我们对函数进行多项式插值.设一次函数满足,可得在上的一次插值多项式,由此可计算出的“近似值”,显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差,除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等,还可要求在部分节点处的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特(Hermite)插值多项式.已知函数在上的二次埃尔米特插值多项式满足
(1)求,并证明当时,;
(2)若当时,,求实数的取值范围;
(3)利用计算的近似值,并证明其误差不超过.
(参考数据:;结果精确到0.001)
(1)求,并证明当时,;
(2)若当时,,求实数的取值范围;
(3)利用计算的近似值,并证明其误差不超过.
(参考数据:;结果精确到0.001)
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解题方法
8 . 泰勒公式是一个非常重要的数学定理,它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时,它的公式表达式如下:.注:表示函数在原点处的一阶导数,表示在原点处的二阶导数,以此类推,和表示在原点处的阶导数.
(1)求的泰勒公式(写到含的项为止即可),并估算的值(精确到小数点后三位);
(2)当时,比较与的大小,并证明;
(3)设,证明:.
(1)求的泰勒公式(写到含的项为止即可),并估算的值(精确到小数点后三位);
(2)当时,比较与的大小,并证明;
(3)设,证明:.
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2024-07-20更新
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299次组卷
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2卷引用:宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
名校
9 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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10 . 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的,其形式为:,等号成立条件为或至少有一方全为0.柯西不等式用处很广,高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题.已知数列满足.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)证明:.
(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(2)证明:.
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