1 . 设函数若存在唯一的整数 ，使得，则实数的取值范围为______.

2 . 函数为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；
②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．

3 . 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_______．

4 . 已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．

5 . 已知函数（是不同时为零的常数），导函数为．
（1）当时，若存在，使得成立，求的取值范围；
（2）求证：函数在内至少有一个零点；
（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程，在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围．

6 . 已知函数，，其中，均为实数.
（1）求的极值；
（2）设，，若对任意的，且，有 恒成立，求实数的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求实数的取值范围.

7 . 已知，函数， ．（的图象连续不断）
(1) 求的单调区间；
(2) 当时，证明：存在，使；
(3) 若存在属于区间的，且，使，证明： ．

8 . 设函数且其中，是自然对数的底数.
（1） 求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围.
（3）设若存在使得成立，求实数的取值范围.