1 . 已知函数，曲线在原点处的切线为.
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证：.

2 . 已知函数 曲线在原点处的切线为 .
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ；
(3)若关于的方程（为正实数）有不等实根求证：

3 . 已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数在上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数，），证明：的所有零点之和大于．

4 . 设函数（其中）.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明函数在上有且只有一个零点.

5 . 已知函数，
(1)求函数在的最大值：
(2)求证，曲线在抛物线的上方．

6 . 已知函数.
(1)试比较与2022的大小关系，并给出证明；
(2)设函数，若函数的图像恒在函数的图像上方，求实数a的取值范围；
(3)函数在上的最小值记为，求函数的值域.

7 . 函数（a为常数，且）在处取得极值．
（1）求实数a的值，并求的单调区间；
（2）关于x的方程在上恰有1个实数根，求实数b的取值范围；
（3）求证：当时，．

8 . 设函数，其图象与轴交于，两点，且.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.

9 . 已知函数，.
（1）若，在上恒成立，求的取值范围；
（2）设数列，为数列的前项和，求证：；
（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．