1 . 如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形.

(1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求；
(2)求矩形面积的最大值.

2 . 如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.

(1)表示绿地的面积；
(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．

3 . 请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图）

4 . 如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.

   

(1)若D是BC中点，求；
(2)若点P满足，
①求的取值范围；
②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值.

5 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．
   
(1)当时，求的长度；
(2)求长度的最大值．

6 . 将图（1）所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形．已知摩天轮的半径为40米，其中心点距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈．摩天轮上一点距离地面的高度为（单位：米），若从摩天轮的最低点处开始转动，则与转动时间（单位：分钟）之间的关系为．

(1)求，，，的值；
(2)摩天轮转动8分钟后，求点距离地面的高度；
(3)在摩天轮转动一圈内，求点距离地面的高度超过65米的时长．

7 . 某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区．

(1)若的周长为，求的大小；
(2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值．

8 . 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆上. 记.

(1)为了观赏效果， 需要保证，若薰衣草的种植面积不能少于 km²，则应设计在什么范围内?
(2)若BC = AD， 求当为何值时，四边形的周长最大，并求出此最大值.

9 . 某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．

(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．

10 . 已知函数满足，且在上单调递减．
(1)求的单调递增区间；
(2)已知负数满足恒成立，求的最大值．