1 . 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________．

2 . 已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______．

3 . 在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________.

4 . 已知为坐标原点，，，，向量，动点满足，写出一个，使得有且只有一个点同时满足，则__________.

5 . 在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则________；若，则函数的最小值为_______________.

6 . 已知正实数，称为的算术平均数，为的几何平均数，为的希罗平均数．为的边上异于的动点，点满足且，则正数的希罗平均数的最大值是______________．

7 . 在中，，，若为其重心，试用，表示为________；若为其外心，满足，且，则的最大值为________．

8 . 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则________；是平面图形边上的动点，则的取值范围是________．

9 . 请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有________.（填序号）
   

10 . 如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则______.