1 . 如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，.

(1)试用与表示，；
(2)求证：为定值，并求此定值.

2 . 如图，在中，.设.

   

(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.

3 . 如图所示，在中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点．

(1)过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，．
①求证为定值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值．
(2)若是边长为1的正三角形，且，……是线段BC的n等分点，，其中，n、，，求的值．

4 . 如图，在中，为边的中线， ，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.证明：为定值．

5 . 已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．

   

(1)求的最小值．
(2)若点满足，证明：．

6 . 如图：在中，，，与交于点，设.
   
(1)若，求，的值；
(2)在线段上取一点，线段上取一点，使得过点，设，求证：．

7 . 如图，在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，点E是边AB的中点，点D是边AC上一点，BD，CE相交于点P，且．
   
(1)若，求实数的值；
(2)若，证明：．

8 . 如图，在中，已知，，，．

   

(1)若，证明：A，F，E三点共线；
(2)若AE，BD交于点F，求的值．

9 . 在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设，．

(1)试用，表示；
(2)在边上有点，使得，求证：三点共线．

10 . 如图所示，在中，，，，.
   
(1)试用向量，来表示，；
(2)若，求证：D，O，N三点共线.