解题方法
1 . 已知双曲线
，经过点
的直线
与该双曲线交于
两点.
（1）若与
轴垂直，且
，求
的值；
（2）若
，且的横坐标之和为
，证明：
.
（3）设直线与
轴交于点
，求证：
为定值.
，经过点的直线与该双曲线交于两点.（1）若
与轴垂直，且，求的值；（2）若
，且的横坐标之和为，证明：.（3）设直线
与轴交于点，求证：为定值.
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2020-05-20更新
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508次组卷
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5卷引用：2020届上海杨浦区高三二模数学试题
2020届上海杨浦区高三二模数学试题（已下线）热点04 平面向量、复数-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）上海市致远高中2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题上海市同济大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题西藏拉萨市部分学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（理科）
名校
解题方法
2 . 已知非零向量
，
不共线．
(1)如果
，
，
，求证：
，
，
三点共线；
(2)欲使
和
共线，试确定实数
的值．
，不共线．(1)如果
，，，求证：，，三点共线；(2)欲使
和共线，试确定实数的值．
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2024-03-11更新
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2472次组卷
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36卷引用：甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题辽宁省瓦房店市实验高级中学2018-2019学年高一下学期月考数学试卷四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题专题6.3《平面向量初步》（A卷基础篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材人教B版）内蒙古阿拉善盟第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试理科数学试题北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题广东省外语外贸大学附设肇庆外国语学校2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题福建省建瓯市芝华中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第9章 9.2.2 向量的数乘广东省增城区四校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题广西桂林市临桂区五通中学2021-2022学年高一下学期期中段考数学试题黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题辽宁省沈阳市沈抚育才实验学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题（已下线）6.3.1 平面向量基本定理（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.2 平面向量的运算（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）陕西省西安工业大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题福建省福州日升中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题1.3向量的数乘1.3向量的数乘江西省九江市德安县第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末考试数学试题山西省忻州市名校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题广西玉林市第十一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）核心考点01平面向量及其应用（1）北师大版（2019）必修第二册课本习题 习题2-3（已下线）第九章 平面向量（压轴题专练）-单元速记·巧练（苏教版2019必修第二册）（已下线）模块一 专题2 平面向量基本定理与坐标运算（A）甘肃省兰州新区贺阳高级中学2023-2024学年度高一下学期3月月考数学试题（已下线）2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）河北省廊坊市文安县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次集中练（3月月考）数学试题江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期第一次调研测试（3月）数学试题贵州省遵义市桐梓县荣兴高级中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）月考数学试题河北省唐山市开滦第二中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（已下线）模块一 专题4 平面向量基本定理与坐标运算（A）北师大版高一期中（已下线）习题 2-3四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
9-10高一下·辽宁沈阳·期末
名校
解题方法
3 . 设两个非零向量
与
不共线．
(1)若
，
，
求证
三点共线．
(2)试确定实数，使
和
共线．
与不共线．(1)若
，，求证三点共线．(2)试确定实数
，使和共线．
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2023-02-01更新
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5320次组卷
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69卷引用：辽宁省沈阳市重点高中09-10年高一下学期联合考试数学（理）试卷
（已下线）辽宁省沈阳市重点高中09-10年高一下学期联合考试数学（理）试卷（已下线）辽宁省沈阳市重点高中09-10年高一下学期联合考试数学（文）试卷（已下线）2010年江苏省南通中学高一第一学期期末考试数学试卷（已下线）2012-2013学年宁夏银川一中高一下学期期末考试数学试卷（已下线）2014届高考数学总复习考点引领+技巧点拨第四章第1课时练习卷2014-2015学年四川省达州市大竹县文星中学高一6月月考数学试卷2015-2016学年福建省上杭一中高一下周末练数学试卷山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文）试题山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（理）试题辽宁省沈阳市第二中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题【全国百强校】广东东莞市第一中学2017-2018学年高一第二学期第一次月考河南省镇平县第一高级中学2017-2018学年高一下学期第三次月考数学试题（已下线）2019年一轮复习讲练测 5.1 平面向量的概念及线性运算【浙江版】【测】（已下线）2019高考热点题型和提分秘籍 【文数】专题18 平面向量的概念及其线性运算 （教学案）【全国百强校】四川省南充市阆中中学2018-2019学年高一3月月考数学试题（已下线）第01讲 平面向量的概念及线性运算（讲）-《2020年高考一轮复习讲练测》（浙江版）河南省商丘市永城市第三高级中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题海南省东方市八所中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题人教B版(2019) 必修第二册 过关斩将 第六章 6.2.1 向量基本定理（已下线）专题5.1 平面向量的概念及线性运算（讲）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》上海市莘庄中学等四校2015-2016学年高二上学期11月联考数学试题上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期中数学试题山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题山东省潍坊市安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题四川省内江市威远中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学（文）试题四川省内江市威远中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学（理）试题（已下线）江西省南昌市南大附中2019-2020学年度高一年级下学期第三次月考数学试题黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次月考（开学）数学（理）试题安徽省安庆市第一中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题（已下线）第27讲 平面向量的概念及线性运算-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）（已下线）专题27 平面向量（同步练习）-2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过（已下线）专题27 平面向量（同步练习）-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）（已下线）专题27 平面向量（同步练习）-2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过（已下线）对点练35 平面向量的概念及其线性运算-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练专题6.3《平面向量初步》（A卷基础篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材人教B版）山西省朔州市怀仁一中云东校区2019-2020学年高一下学期期中数学（文）试题（已下线）第10讲向量的概念和线性运算（练习）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第8章 平面向量 8.1.2 第2课时 向量的线性运算福建省德化第一中学2020-2021学年高一下学期第一次质检数学试题安徽省黄山市屯溪第一中学、中科大附中2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）第22讲 平面向量的概念及其线性运算（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）10.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（已下线）专题01 有关向量共线的问题 -【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）浙江省宁波市咸祥中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题（已下线）5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精练）（基础版） - 1山东省济宁市育才中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题陕西省渭南市蒲城中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第8章 8.1.3 实数与向量的乘法河南省平顶山市蓝天高级中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高一下学期第一次质量检测数学试题山东省德州市第一中学2022-2023学年高一下学期3月阶段性测试数学试题安徽省六安市六安第二中学河西校区2022-2023学年高一下学期第四次统测数学试题山东省枣庄市滕州市第五中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题江苏省南京大学附属中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）微专题01 共线问题与数量积求解策略（1）-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）北京名校2023届高三一轮总复习 第4章 平面向量 4.1 向量的概念与线性运算（已下线）第六章：平面向量及其应用 重点题型复习（1）-【题型分类归纳】人教B版(2019) 必修第二册 北京名校同步练习册 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.4 数乘向量内蒙古阿拉善盟2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）高一下期中真题精选（常考60题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）（已下线）第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（六大题型）（讲义）（已下线）2.3 从速度的倍数到向量的数乘6种常见考法归类-【帮课堂】（北师大版2019必修第二册）（已下线）第八章 平面向量（知识归纳+题型突破）（1）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）FHsx1225yl073黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷
2016高一·全国·课后作业
名校
解题方法
4 . 如图，在
中，是
的中点，是线段
上靠近点的三等分点，设
，
.
与
表示向量
，
；
(2)若
，求证：
三点共线.
中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，.
与表示向量，；(2)若
，求证：三点共线.
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2022-08-19更新
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2346次组卷
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23卷引用：同步君人教A版必修4第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义
（已下线）同步君人教A版必修4第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义高中数学人教版 必修4 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义人教A版(2019) 必修第二册 过关斩将 第六章 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算专题02 向量的数乘运算、数量积（核心素养练习）-【新教材精创】2019-2020高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)-《高中新教材知识讲学》山西省忻州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题（已下线）6.2.1 平面向量的线性运算（精练）-2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）综合检测（基础篇）-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)河北省任丘市第一中学2021-2022学年高一下学期阶段性考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 必杀技 第9章 平面向量 9.2 向量运算 9.2.2 向量的数乘苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第9章 本章复习提升苏教版(2019) 必修第二册 一课一练 第9章 平面向量 单元检测安徽省淮北师范大学附属实验中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题（已下线）6.2.1向量的加法运算（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）9.2.2 向量的数乘2江苏省南京市中华中学2022-2023学年高一下学期3月综合练习数学试题（已下线）9.2.2 向量的数乘-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)宁夏固原市第五中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（已下线）6.3.2&6.3.3&6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示（精讲）（2）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第1章 本章复习提升安徽省马鞍山市红星中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（已下线）专题03 向量的数乘（2）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）第9章 平面向量 单元综合检测（重点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）福建省宁德市第五中学2023-2024学年高一下学期开门考数学试题
名校
解题方法
5 . 如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若
＝m
，
＝n
，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求
的最小值．
＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求
的最小值．
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2021-10-20更新
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712次组卷
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12卷引用：上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题6.4 平面向量的应用--几何、物理（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第二册同步单元AB卷(新教材人教A版，浙江专用）江苏省苏州市三中2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题江苏省镇江市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题山东省枣庄市薛城区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题山东省枣庄市第八中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）8.1 向量的概念和线性运算（作业）-【上好课】2020-2021学年高一数学下册同步备课系列（沪教版2020必修第二册）山东省济宁市兖州区2021-2022学年高一下学期期中数学试题沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第六单元 6.2 向量的分解定理山东省滨州市博兴县第二中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题四川省凉山州民族中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
名校
6 . 在平面直角坐标系中，
为坐标原点，
其中
．
（1）求证：
三点共线；
（2）若函数
的最小值为
，求实数
的值．
为坐标原点，其中．（1）求证：
三点共线；（2）若函数
的最小值为，求实数的值．
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2021-07-23更新
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174次组卷
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2卷引用：福建省泉州市永春一中2018-2019学年高一上学期期末数学试题
名校
解题方法
7 . 已知椭圆
的离心率为
，且椭圆C经过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点
的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线
交于点Q，设
，
，求证：为定值．
的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点
的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．
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2020-11-06更新
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1500次组卷
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7卷引用：北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题
北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题（已下线）第九单元 解析几何（B卷 滚动提升检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷（已下线）专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)北京市第十四中学2023届高三上学期期中检测数学试题山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题北京高二专题01平面解析几何
名校
解题方法
8 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，C，P，Q三点满足
（1）求证：C，P，Q三点共线；
（2）若
，
（
），则
（
）的最小值是多少?
（1）求证：C，P，Q三点共线；
（2）若
，（），则（）的最小值是多少?
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9 . 已知圆O的方程为
，圆O与y轴的交点为A，B(点A在点B的上方)，直线
与圆O相交于M，N两点
（1）当k=1时，求弦长
；
（2）若直线y=4与直线BM交于点D，求证：D、A、N三点共线.
，圆O与y轴的交点为A，B(点A在点B的上方)，直线与圆O相交于M，N两点（1）当k=1时，求弦长
；（2）若直线y=4与直线BM交于点D，求证：D、A、N三点共线.
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10 . 如图，已知两条抛物线
和
，过原点O的两条直线
和
，与
分别交于
两点，与分别交于
两点.
（2）过原点作直线（异于，）与分别交于
两点.记
与
的面积分别为
与
，求
的值.
和，过原点O的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.
（2）过原点
作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与，求的值.
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