1 . 设数列，，，…满足条件，其中n是某个固定的自然数．求证：．

2 . 已知，，，且，
（1）当时，求证：；
（2）试确定一个正整数，使得当时，都有．

3 . 在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.

4 . 如图，在中，AB边上有一点，点是线段AB的三等分点，点为线段DC上的一点（不与点D、C重合），若分所成的比为，连接AM，且有.

(1)用来分别表示;
(2)假设函数，存在数列，首项，当时，对前项和有成立，求数列的通项公式.

5 . 已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

6 . 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．
(1)若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；
(2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足，证明：或．

7 . 如图所示，四边形是平行四边形，过点的直线与射线、分别相交于点、，若，．

（1）把用表示出来（即求的解析式）；
（2）设数列的首项，前项和满足：，求数列通项公式．

8 . 已知无穷数列满足，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求数列的通项公式；
（2）在无穷等比数列中，，，试找出一个b的具体值使得数列的任意项都在数列中；试找出一个b的具体值，使得数列的项不都在数列中，简要说明理由；
（3）对问题（2）继续进行研究，探索当且仅当b取怎样的值时，数列的任意项都在数列中，说明理由．

9 . 已知两个盒子中各有一个黑球，一个白球．每次从两个盒子中各随机取出一个小球交换后放回．记次交换后，盒子中有一黑一白两个小球的概率为盒子中黑球的个数为．
(1)求；
(2)求的数学期望．

10 . 已知无穷数列
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？