1 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

2 . 已知数列的前项和为，，，.
（1）证明：.
（2）求证数列为等差数列.

3 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足().
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.

4 . 若无穷数列满足：，且对任意，(s，k，l，)都有，则称数列为“T”数列.
（1）证明：正项无穷等差数列是“T”数列；
（2）记正项等比数列的前n项之和为，若数列是“T”数列，求数列公比的取值范围；
（3）若数列是“T”数列，且数列的前n项之和满足，求证：数列是等差数列.

5 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

6 . 设数列的前n项和满足，，，
（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设，求证：.

7 . 已知数列和满足，，对都有，成立.
（1）证明：是等比数列，是等差数列；
（2）求和的通项公式；
（3），，求证：.

8 . 已知点列为函数图像上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意，点构成以为顶点的等腰三角形.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，求的取值范围；
（3）求证：对任意，是常数，并求数列的通项公式.

9 . 已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：．

10 . 正整数数列满足（p，q为常数），其中为数列的前n项和．
(1)若，，求证：是等差数列；
(2)若数列为等差数列，求p的值；
(3)证明：的充要条件是．