1 . 数列满足，，，设.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.

2 . 已知正项数列中，，前项和为，且______．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：①；②．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．

3 . 已知数列满足
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列满足，为数列的前项和，若在上恒成立，求的取值范围．

4 . 已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和，证明：．

5 . 已知数列的前n项和满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列等差数列；
(3)求数列的前n项和的最大值．

6 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

7 . 已知数列满足，.
(1)证明：为等差数列.
(2)求的前n项和.

8 . 已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列，记的前项和为.
(1)求的通项公式及;
(2)记，证明:.

9 . 数列的前项和为，当时，．
(1)求证：数列是等差数列，并求的表达式；
(2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最小值．

10 . 已知数列的前项和满足；数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)记数列，，求；
(3)记数列，求证：．