1 . 已知正项数列中，，且为其前项和，若存在正整数，使得成立，则的取值范围是_______．

2 . 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.（参考数据：）

3 . 设等比数列满足，记为中在区间中的项的个数，则数列的前50项和___________.

4 . 已知等比数列的公比为，若，则______

5 . 已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则______.

6 . 对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________．

7 . 设是公比不为1的等比数列，若为的等差中项，则的公比为______．

8 . 已知等比数列的前项和为，公比，且，，则______.

9 . 已知等比数列的前项和，令，则数列的通项公式为______.

10 . 若数列满足，且，则数列的前4项和等于______．