1 . 设等比数列
的最n项和
，首项
，公比
.
（1）证明：
；
（2）若数列
满足
，
，求数列的通项公式；
（3）若
，记
，数列
的前项和为
，求证：当
时，
.
的最n项和，首项，公比.（1）证明：
；（2）若数列
满足，，求数列的通项公式；（3）若
，记，数列的前项和为，求证：当时，.
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2 . 已知数列
满足
，其中
．
（1）设
，求证：数列
是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
满足，其中．（1）设
，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设
，数列的前项和为，证明：．
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3 . 如果数列对任意的
满足：
，则称数列为“
数列”.
（1）已知数列是“数列”，设
，求证：数列是递增数列，并指出
与
的大小关系（不需要证明）；
（2）已知数列是首项为
，公差为
的等差数列，是其前项的和，若数列
是“数列”，求
的取值范围；
（3）已知数列是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较
和
的大小，并说明理由.
对任意的满足：，则称数列为“数列”.（1）已知数列
是“数列”，设，求证：数列是递增数列，并指出与的大小关系（不需要证明）；（2）已知数列
是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，若数列是“数列”，求的取值范围；（3）已知数列
是各项均为正数的“数列”，对于取相同的正整数时，比较和的大小，并说明理由.
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解题方法
4 . 对于数列，设
表示数列前
项
，
，
，
中的最大项．数列满足：
．
(1)若
，求的前
项和．
(2)设数列为等差数列，证明：
或者
（
为常数），
，
，
，．
(3)设数列为等差数列，公差为，且
．
记
，
求证：数列
是等差数列．
，设表示数列前项，，，中的最大项．数列满足：．(1)若
，求的前项和．(2)设数列
为等差数列，证明：或者（为常数），，，，．(3)设数列
为等差数列，公差为，且．记
，求证：数列
是等差数列．
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5 . 已知数列
满足
．
(1)若数列是常数列，求
的值；
(2)当
时，求证：
；
(3)求最大的正数，使得
对一切整数恒成立，并证明你的结论．
满足．(1)若数列
是常数列，求的值；(2)当
时，求证：；(3)求最大的正数
，使得对一切整数恒成立，并证明你的结论．
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2017-04-21更新
|
681次组卷
|
2卷引用：2015-2016学年浙江省安吉，德清，长兴三县高一下学期期中考试数学试卷
6 . 已知数列
满足，
，
，又
．
（Ⅰ）求证数列
是等比数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）若
的前和为，
．
①判断并证明数列
的单调性；
②求证：
．
满足，，，又．（Ⅰ）求证数列
是等比数列，并求出的通项公式；（Ⅱ）若
的前和为，．①判断并证明数列
的单调性；②求证：
．
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解题方法
7 . 老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为
个单位，含氧量y与年份x的函数模型为
，当含氧量少于
个单位，鱼虽然依然生长，但会损失
的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量
与第n年鱼的总重量
的关系式
不用证明关系式，n为整数
，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
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8 . 某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自
年
月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量
内销量与出口量的和）分别为
和
（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：
，
（其中
、
为常数），已知万件，
万件，
万件.
(1)求、的值，并写出与满足的关系式；
(2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由.
年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件.(1)求
、的值，并写出与满足的关系式；(2)利用数学归纳法证明销售总量
一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由.
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解题方法
9 . 已知无穷数列的各项均为整数．设数列的前项和为，记
中奇数的个数为．
(1)若
，试写出数列的前5项；
(2)证明：“为奇数，且
为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件；
(3)若
（
为正整数），求数列的通项公式．
的各项均为整数．设数列的前项和为，记中奇数的个数为．(1)若
，试写出数列的前5项；(2)证明：“
为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件；(3)若
（为正整数），求数列的通项公式．
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解题方法
10 . 设函数
为
上的增函数，令
．
(1)判断并证明
在上的单调性；(2)若
，判断
与2的大小关系并证明；(3)若数列
的通项公式为
，试问是否存在正整数，使
取得最值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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