1 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.

2 . 在正项等比数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明是等差数列，并求的前项和．

3 . 数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.

4 . 已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)设，数列的前项和为，证明：.

5 . 已知数列的每一项都是正数，，．记数列的前项和为，，数列的前项和为，数列的前项和为．
(1)求、；
(2)直接写出与的大小关系（不要求证明）．

6 . 已知正项数列满足，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：.

7 . 设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．
条件①：；条件②：；条件③：．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和．
参考公式：．

8 . 已知数列满足.记.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列的前项和为，求数列的前20项的和.

9 . 已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.

10 . 正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．