1 . 正项数列的前n项和为，已知．
(1)求证：数列为等差数列，并求出，；
(2)若，求数列的前2023项和．

2 . 已知首项为1的递增的等差数列的前n项和为，若成等比数列.
(1)求和；
(2)求证：

3 . 已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.

4 . 已知公差不为0的等差数列的前项和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若的前项和为.证明：.

5 . 在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解．
设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，            ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式；
(2)若数列满足，设的前n项和为，求证：．

6 . 已知数列的前项和为，且
(1)求，并证明数列是等差数列：
(2)若，求正整数的所有取值.

7 . 记为数列的前项和，已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，记，求数列的前项和．

8 . 已知数列满足：
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前项的和．

9 . 已知数列满足：，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)数列，求满足的最大正整数n．

10 . 设数列的前n项和为，且，数列满足，且.
(1)证明：数列是等比数列，数列是等差数列，并求，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.