1 . 设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为______.

2 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
(1)若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为、，求是数列时所满足的条件，并证明命题“若是数列，则总有”.

3 . 已知集合，.中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，为数列的前项的和.
(1)求；
(2)如果，，求和的值；
(3)如果，求（用来表示）.

4 . 设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．

6 . 已知各项均为正数的等差数列与等比数列满足，又、、成等比数列且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）将数列、的所有公共项从小到大排序构成数列，试求数列前2021项之和；
（3）若，数列是严格递增数列，求的取值范围.

7 . 已知无穷数列满足．其中、均为非负实数且不同时为．
(1)若，，且，求的值；
(2)若，，求数列的前项和；
(3)若，，求证：当时，数列是单调递减数列．

8 . 用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知数列的前n项和为，我们把满足条件（n为任意正整数）的所有数列构成的集合记为M.
(1)若数列的通项为，判断是否属于M，并说明理由；
(2)若数列是等差数列，且，求的取值范围；
(3)若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列?若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.

10 . 在等差数列和等比数列中，，，是数列前n项和.
(1)求；
(2)若，求证：“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；
(3)是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值；若不存在，请说明理由.