1 . 设数列{a_n}满足a₁=3，．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

2 . 已知为等差数列的前项和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设， 为数列的前项和，求证：.

3 . （1）某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动.月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加.社团活动积极分子甲同学参加了活动.
①第一个月有18个中签名额.甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签.求这三名同学同时中签的概率.
②理学社设置了第()个月中签的名额为，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束.求甲同学参加活动时间的期望.
（2）某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动.报名和抽签时间与（1）中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中.每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同.出版集团设置了第()个月中签的概率为，活动进行了个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于个月.

4 . 已知数列{a_n}，{b_n}（b_n≠0，n∈N^*），满足a₁＝2b₁，a_nb_n+1﹣a_n+1b_n+2b_n+1b_n＝0．
（Ⅰ）令，证明：数列{c_n}为等差数列，并求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n＝，求数列{a_n}的前n项和S_n．

5 . 设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.

6 . 已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足.
（1）求证：是等差数列；                 
（2）求数列的前项和；
（3）若一切正整数恒成立，求实数的取值范围.

7 . 在数列中，（）.
（1）证明数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

8 . 已知数列满足.
（1）若，证明：数列是等比数列，求的通项公式；
（2）求的前项和．

9 . 已知函数满足且.
（1）当时，求的表达式；
（2）设，求证：；

10 . 已知数列、满足，且.
（1）令证明：是等差数列，是等比数列；
（2）求数列和的通项公式；
（3）求数列的前n项和公式．