1 . 设，函数（e为常数，）．
(1)若，求证：函数为奇函数；
(2)若．
①证明函数的单调性；
②对任意，都有成立，求实数a的取值范围．

4 . 对于函数，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“和谐点”，函数的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即．
(1)求证：；
(2)若为单调递增时，是否有？并证明；
(3)若，且，求实数a最大值与最小值的积．

5 . 已知函数的定义域为，对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是奇函数；
(2)判断在上的单调性，并加以证明；
(3)解关于的不等式，其中常数．

6 . 已知函数．
（1）若函数的解集为，求函数的解集；
（2）若，，，试证明：对于任意，有；
（3）若时，有，求证：当，．

7 . 如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，那么称函数为“函数”．
（Ⅰ）若，，试判断函数和是否是“函数”？若是，请证明：若不是，主说明理由：
（Ⅱ）求证：若是单调函数，则它是“函数”；
（Ⅲ）若函数是“函数”，求实数满足的条件．

8 . 设函数．

（1）在区间上画出函数的图象；
（2）设集合，．试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方．

9 . （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
（2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离．

10 . 已知函数，．
(1)函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．