1 . 如图，已知圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，圆柱的两条母线．

(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥体积的最大值．

2 . （1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件.
（2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值.

4 . 如图，在正三棱柱中，为的中点，点在上，，点在直线上，对于线段上异于两端点的任一点，恒有平面．

      

(1)求证：平面平面；
(2)当的面积取得最大值时，求二面角的余弦值．

5 . 如图，在直三棱柱中，，，.，分别为棱，上的动点，为中点，且.
   
(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)当三棱锥的体积最大时，求证:平面.

6 . 已知三棱锥，点是的外心．
   
(1)若，求证：；
(2)求点到平面距离的最大值．

7 . 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，点在线段上，且，点为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)设二面角为，若，求四面体的体积最大值．

8 . 已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.

9 . 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法.构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，，，求此四面体的体积；
(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
(3)有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？