1 . 如图，底面边长为2且侧棱长为的正六棱锥是底面的中心，在其内部有一个高为的内接圆柱(圆柱的下底面在棱锥的底面上，上底面圆周与棱锥各侧面相切)．

(1)求棱锥的表面积；
(2)求圆柱侧面积的最大值及侧面积取得最大值时圆柱底面半径的值．

2 . 如图所示，在四棱锥中，平面，，，为棱上一点，.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离.

3 . 如图，已知正四面体的棱长为3．

(1)求正四面体的高；
(2)若球O的球面与正四面体的棱有公共点．且球心O到正四面体的四个面的距离相等，求球O的半径R的取值范围．

4 . 如图，在直三棱柱中，是棱BC上一点（点D与点不重合），且，过作平面的垂线．

(1)证明：；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求AC与平面所成角的正弦值．

5 . 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N，P，Q分别是棱AB，AD，，，，的中点．

(1)求四棱锥的体积；
(2)求二面角的余弦值．

6 . 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点E，F分别是线段，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离.

8 . 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的大小.

9 . 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．

(1)证明：平面PBC；
(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；
(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

10 . 如图，四棱锥的底面是矩形，平面为的中点，为PA上一点，且．

(1)证明：平面BDQ；
(2)若二面角为，求三棱锥的体积．