2024·全国·模拟预测
解题方法
1 . 波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题:有无数个完全相同的球,取3个使它们两两相切放置,然后放上第4个球,使其与前3个球都相切,这样形成4个凹穴,在每个凹穴再放上一个球,则一共放了8个球,它们形成多少个凹穴?这个过程可以一直继续下去吗?若我们只考虑前8个球,设球的半径为1,其中两个球的球心之间的距离为d,则d的取值集合为( )
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2 . 在四棱锥
中,底面
为正方形,平面
都与平面
垂直,
,点
分别为
的中点,且
是线段
上一点(包含端点),给出下列结论:①四边形
为等腰梯形;②不存在点
,使得
平面
;③存在点
,使得
;④
的最小值为
.其中所有正确结论的序号为______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0585b6c0f156eecf9662b9846d4eb693.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
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3 . 球冠是指一个球面被平面所截得的曲面,截得的圆面是底,垂直于圆面的直径被截得的部分是高.如图,已知球的半径为20cm,球冠的高为10cm,现有3根长度相等的支柱
,
,
用于支撑球冠,立于水平的桌面上.若
,为使稳固支撑球冠,则应满足![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38dd8aad9cfb5e1fe2a45d80923f1571.png)
___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/602d0265aa2b89076b0cff90853f7cfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7393358bb94b0df78fd4e29223257e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81a3bcd3385a9fef291cfe6291d9e10c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e6838e4c3fcca20d4381e91f1109b07.png)
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4 . 4个半径为1的球两两相切,下面3个上面1个堆放两层摆放在桌上,问上面的球的最高处到桌面的距离为______ ,在4个球的中间再放1个小球和4个球都相切,小球的半径为______ .
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5 . 如图,正八面体
棱长为2,P为棱MC上一动点(不含端点).下列说法正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5850fcf863554545a5bfa749abeead18.png)
A.存在点P,使得![]() |
B.当P为棱MC的中点时,正八面体表面从N点到P点的最短距离为![]() |
C.异面直线AP和MD所成角随PC的增大而减小 |
D.以正八面体中心为球心,1为半径作球,球被正八面体各个面所截得的交线总长度为![]() |
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6 . 如图,正三棱台
的上下底面边长分别为3和6,侧棱长为3,则下列结论中正确的有( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
A.过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为![]() |
B.棱长为![]() |
C.直径为![]() |
D.该三棱台可以整体放入直径为![]() |
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7 . 已知正方体
棱长为2,
为棱
的中点,
为正方体表面上一动点,下列说法中正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
A.点![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
B.点![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
C.当点![]() ![]() ![]() ![]() |
D.若![]() ![]() ![]() |
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