解题方法
1 . 如图，在多面体
中，平面
平面
，
平面，
和
均为正三角形，
，
．
(1)求多面体的体积．
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
？说明理由；
中，平面平面，平面，和均为正三角形，，． (1)求多面体
的体积．(2)在线段
上是否存在点，使得平面？说明理由；
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2 . 如图，在
中，
，且
，
，将
绕直角边
旋转
到
处，得到圆锥的一部分，点
是底面圆弧
（不含端点）上的一个动点．，使得
？若存在，求出
的大小；若不存在，请说明理由；
(2)当四棱锥
体积最大时，求
沿圆锥侧面到达点的最短距离．
中，，且，，将绕直角边旋转到处，得到圆锥的一部分，点是底面圆弧（不含端点）上的一个动点．
，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；(2)当四棱锥
体积最大时，求沿圆锥侧面到达点的最短距离．
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3 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体，现将它们的体积依次记为，
.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于
，分别求出
和
的值；并猜想
与
的大小关系（猜想不需证明）
(2)多面体的欧拉定理：简单多面体的面数、棱数
与顶点数
满足：
.已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为
，每个面的边数为
，求
满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种.
. (1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个，假设制作每个模型的外壳用料（即表面积）均等于
，分别求出和的值；并猜想与的大小关系（猜想不需证明）(2)多面体的欧拉定理：简单多面体的面数
、棱数与顶点数满足：.已知正多面体都是简单多面体，设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并尝试据此说明正多面体仅有五种.
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4 . 如图，已知点
在圆柱
的底面圆
上，
为圆的直径，圆柱的表面积为
，
.
(1)求异面直线
与
所成角的大小；
(2)求点
到平面
的距离.
在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，. (1)求异面直线
与所成角的大小；(2)求点
到平面的距离.
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5 . 在
平面上，将两个函数
和
、两条直线
和
围成的封闭图形记为，如图所示，记绕
轴旋转一周而成的几何体为
，则的体积值________ .
平面上，将两个函数和、两条直线和围成的封闭图形记为，如图所示，记绕轴旋转一周而成的几何体为，则的体积值
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6 . 定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.在空间中，记边长为1的正方形
区域（包括边界及内部的点）为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为___________ .
区域（包括边界及内部的点）为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为
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2022-06-29更新
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332次组卷
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4卷引用：上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期期末自查数学试题
上海市嘉定区第二中学2021-2022学年高一下学期期末自查数学试题第11章 简单几何体（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020必修第三册）（已下线）11.4球（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）（已下线）高考新题型-立体几何初步
名校
7 . 如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为
，两底面对角线
的长分别为
，水深为
.
(1)求正四棱台的体积；
(2)将一根
长的玻璃棒
放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱
上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
，两底面对角线的长分别为，水深为.(1)求正四棱台的体积；
(2)将一根
长的玻璃棒放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
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2021-12-20更新
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673次组卷
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5卷引用：第09讲 空间几何体的结构与直观图（核心考点讲与练）（1）
（已下线）第09讲 空间几何体的结构与直观图（核心考点讲与练）（1）上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第14讲 简单几何体的表面积与体积-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.3 简单几何体的表面积与体积云南昭通市第一中学2021-2022学年高一下学期奖学金考试数学试题
8 . 直三棱柱
的侧棱长为2，侧棱
到平面
的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为___________ .
的侧棱长为2，侧棱到平面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为
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2021-12-11更新
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500次组卷
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7卷引用：上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题
上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题上海市徐汇区南洋模范中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）第02讲 简单几何体（核心考点讲与练）（1）（已下线）上海高二上学期期中【易错、好题、压轴60题考点专练】（1）上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）11.4球（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）（已下线）期中真题必刷易错40题（17个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
9 . 如图，在正四棱柱
中，，
，M为棱
的中点
（1）求三棱锥
的体积；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
中，，，M为棱的中点（1）求三棱锥
的体积；（2）求直线
与平面所成角的正弦值.
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名校
10 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形
，
为两个全等的等腰梯形，
，
，
，
．
（1）求二面角
的大小；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）点
在直线
上，满足
（
），在直线
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．（1）求二面角
的大小；（2）求三棱锥
的体积；（3）点
在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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2021-08-02更新
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850次组卷
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8卷引用：上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题
上海市文来高中2022-2023学年高一上学期期中数学试题山东省济南市2020-2021学年高一下学期期末数学试题上海市控江中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题上海市市西中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）第04讲线线、线面、面面平行的判定与性质（核心考点讲与练）（3）（已下线）高一下学期期末真题精选（压轴60题20个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题02 立体几何中存在性问题的向量解法-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴必刷30题4种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
