1 . 如图所示，在半径为1的球的内接八面体中，顶点分别在平面两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.设二面角的平面角的大小为.

(1)求该内接八面体体积的最大值；
(2)求的取值范围.

2 . 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）

(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？
(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？

3 . 如图，已知正四面体的棱长为3．

(1)求正四面体的高；
(2)若球O的球面与正四面体的棱有公共点．且球心O到正四面体的四个面的距离相等，求球O的半径R的取值范围．

4 . 如图，三棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，且直线与平面所成角为，

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求三棱锥外接球的表面积．

6 . 兴隆塔，建于隋朝，位于区博物馆内.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量兴隆塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，兴隆塔垂直于水平面，他们选择了与兴隆塔底部在同一水平面上的两点，测得米，在两点观察塔顶点，仰角分别为和，其中，，

(1)求兴隆塔的高的长；
(2)在（1）的条件下求多面体的表面积；
(3)在（1）的条件下求多面体的内切球的半径；

7 . 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且．

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．

8 . 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.

   

(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)设H点是AD的中点，若面EDB与面ABCD所成二面角的大小为，求四棱锥的外接球的表面积.

9 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积．