名校
解题方法
1 . 祖暅原理也称祖氏原理,是我国数学家祖暅提出的一个求体积的著名命题:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处截面积相等,则体积相等.由曲线
,
,
围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V,则V=__________ .
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2024-06-11更新
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252次组卷
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5卷引用:重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期第二阶段性学业质量联合调研抽测(5月)数学试题
2 . 早在公元5世纪,我国数学家祖暅在求球体积时,就创造性地提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
的半球体中,挖去一个半径为
的球体,求剩余部分的体积.
(2)如图二,由抛物线![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ef476b5e912aca6ae9494fcba5a2b2b.png)
跟线段![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9355031ea0b2dc9cef3777621bc6d38.png)
围成一个几何形,将该几何形绕
轴旋转得到一个抛物线旋转体,请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
(3)将两个底面半径为1,高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起,构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积,等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积,请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4b8503f4706b8321e4e79a87eadea84.png)
(2)如图二,由抛物线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ef476b5e912aca6ae9494fcba5a2b2b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b52c00fb7f2a3d8e6bd232b1b70ad46.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9355031ea0b2dc9cef3777621bc6d38.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b52c00fb7f2a3d8e6bd232b1b70ad46.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
(3)将两个底面半径为1,高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起,构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积,等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积,请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.
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2024-05-07更新
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583次组卷
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2卷引用:湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
解题方法
3 . 我国古代数学家祖暅提出一条原理:“幂势既同,则积不容异”,即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.利用该原理可以证明:一个底面半径和高都等于R的圆柱,挖去一个以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.现有一个半径为R的球,被一个距离球心为d(
)的平面截成两部分,记两部分的体积分别为
,则( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6505c58d9042136851439f35dba0081a.png)
A.![]() | B.![]() |
C.当![]() ![]() | D.当![]() ![]() |
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2024-01-26更新
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661次组卷
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5卷引用:河北省石家庄二中润德中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
河北省石家庄二中润德中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题云南省大理州祥云县部分高中(云·上联盟五校协作体)2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点4 四面体体积公式拓展综合训练【培优版】(已下线)专题6 立体几何与数学文化【讲】
解题方法
4 . 祖暅原理也称祖氏原理,是一个涉及求几何体体积的著名数学命题,公元656年,唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术,祖暅在求球体积时,使用一个原理,“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面面积相等,则体积相等,更详细点说就是,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等,上述原理在中国被称为祖暅原理,国外同一般称之为卡瓦列利原理,已知将双曲线
:
与它的渐近线以及直线
,
围成的图形绕
轴旋转一周得到一个旋转体I,将双曲线
与直线
围成的图形绕
轴旋转一周得到一个旋转体II,则关于这两个旋转体叙述正确的是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/10/5b18d707-f3ea-4def-8d6c-374c11abd1e7.png?resizew=448)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a71d04022a7422dbe29d24758f1db4ff.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/10/5b18d707-f3ea-4def-8d6c-374c11abd1e7.png?resizew=448)
A.由垂直于![]() |
B.旋转体II的体积为![]() |
C.将旋转体I放入球中,则球的表面积的最小值为![]() |
D.旋转体I的体积为![]() |
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解题方法
5 . 祖暅原理也称祖氏原理,是一个涉及求几何体体积的著名数学命题.公元656年,唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术,祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等,上述原理在中国被称为祖暅原理,国外则一般称之为卡瓦列利原理,已知将双曲线
与它的渐近线以及直线
围成的图形绕x轴旋转一周得到一个旋转体I,将双曲线C与直线
围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体II,则关于这两个旋转体叙述正确的是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/22/5c80a62f-b354-4d56-940a-f282aadf7bf8.png?resizew=380)
①由垂直于y轴的平面截旋转体II,得到的截面为圆面
②旋转体II的体积为![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04ad1e3b9b6136f57536cbb69e5374a0.png)
③将旋转体I放入球中,则球的表面积的最小值为
④旋转体I的体积为![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/464cbfc1a75ee17786b90f0d23ff783e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f397bf1145d7120fc0a4a2a8c1abd1c6.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a71d04022a7422dbe29d24758f1db4ff.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/3/22/5c80a62f-b354-4d56-940a-f282aadf7bf8.png?resizew=380)
①由垂直于y轴的平面截旋转体II,得到的截面为圆面
②旋转体II的体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04ad1e3b9b6136f57536cbb69e5374a0.png)
③将旋转体I放入球中,则球的表面积的最小值为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4a39dce3f1e36dbe01293c309816968.png)
④旋转体I的体积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/464cbfc1a75ee17786b90f0d23ff783e.png)
A.①② | B.③④ | C.①③④ | D.①②③ |
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名校
6 . 公元
年,唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理,我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图,将双曲线
与直线
所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体
,下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与
的体积相同的是( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/23/2baf69af-a459-496a-8c3a-dd5d4d5d7e12.png?resizew=207)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/23/2a760924-7c25-44dc-814b-c256dadcb46e.png?resizew=427)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/465a9f878f39c2579b0f516a67dec8b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0936f0f8614ba15ef2801273955e76f3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e88a7f9f2d8040d8451f06292200966.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bcd8ee2d8367c167d6ae0abc741b6b8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bcd8ee2d8367c167d6ae0abc741b6b8.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/23/2baf69af-a459-496a-8c3a-dd5d4d5d7e12.png?resizew=207)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/23/2a760924-7c25-44dc-814b-c256dadcb46e.png?resizew=427)
A.图①,长为![]() ![]() ![]() ![]() |
B.图②,长为![]() ![]() ![]() ![]() |
C.图③,长为![]() ![]() ![]() ![]() |
D.图④,长为![]() ![]() ![]() ![]() |
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2022-09-23更新
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1093次组卷
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4卷引用:重庆市南开中学校2023届高三上学期9月月考数学试题
重庆市南开中学校2023届高三上学期9月月考数学试题(已下线)第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积(练)辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校科学高中部2023-2024学年高三上学期高考适应性测试(一)数学试题(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点1 祖暅原理及球体积辅助体【培优版】
名校
解题方法
7 . 已知正方体
的棱长为a,E、F分别为棱
、
的中点,P为体对角线
所在直线上一动点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/23/2878865860804608/2879476422508544/STEM/04f5074ad4af4ca68c62db8b5f99a97d.png?resizew=226)
(1)作出该正方体过点E、F且和直线
垂直的截面,并证明该截面和直线
垂直;
(2)求出△EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值;
(3)若动点M在直线EF上运动,动点N在平面
上运动,求
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f66fb71b75b63594ebeeeebd1963eed5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/394c5d2f55221975503be8aa18022480.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fe734023d4e70010a6b2cc3267cb86e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/23/2878865860804608/2879476422508544/STEM/04f5074ad4af4ca68c62db8b5f99a97d.png?resizew=226)
(1)作出该正方体过点E、F且和直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fe734023d4e70010a6b2cc3267cb86e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fe734023d4e70010a6b2cc3267cb86e.png)
(2)求出△EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值;
(3)若动点M在直线EF上运动,动点N在平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e168672b47d7e64dc1b404f8882c7dcf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c2bb1548ddc0e5536a35b1bd78c4e7cd.png)
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2021-12-24更新
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1008次组卷
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3卷引用:上海市奉贤中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题
上海市奉贤中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题河南省安阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第二次阶段考试数学试题(已下线)第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质(核心考点讲与练)(2)
8 . 祖暅原理也称祖氏原理,是我国数学家祖暅提出的一个求积的著名命题:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处截面积相等,则体积相等.满足
的点
组成的图形绕
轴旋转一周所得旋转体的体积为
,由曲线
,
,
围成的图形绕
轴旋转一周所得旋转体的体积为
,则
、
满足以下哪个关系式( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cdd4278b70c472c579732ad52f6e2065.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0203b006524305c3d8ee0b6c34cd872b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c4764374bd2fb78e59cd0b283637baeb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/874e8ea83c58748f4f1091b07804d93a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d3051f43ac48c0a730a791b8a93ad37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2bfb4e91d5c6d50ff816b0240c1a7f02.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c63055a5d6916f99d07fede49120753f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c4764374bd2fb78e59cd0b283637baeb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c63055a5d6916f99d07fede49120753f.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2021-10-12更新
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1512次组卷
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6卷引用:湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题
湖南师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学试题湖南师大附中2022届高三上学期月考数学试题(二)辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(已下线)考点35 立体几何中的综合问题-备战2022年高考数学典型试题解读与变式(已下线)专题22 祖暅原理(已下线)专题7-2 立体几何压轴小题:角度与动点、体积(讲+练)-2
9 . 我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即
.现将椭圆
绕
轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acb26f427fd0fbe5ffa1d348ba8a3f6c.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2020-12-02更新
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3654次组卷
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13卷引用:山东省潍坊第四中学2022届高三上学期第一次过程检测数学试题
山东省潍坊第四中学2022届高三上学期第一次过程检测数学试题上海市嘉定区育才中学2024届高三上学期12月月考数学试题浙江省宁波市北仑中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题辽宁省沈阳市二十中学2022-2023学年高三上学期三模考试数学试题(已下线)专题07 立体几何小题常考全归类(精讲精练)-2吉林省长春市第二实验中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题山西省山西大学附属中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题四川省南充高级中学2023届高考模拟检测(七)理科数学试题重庆市2023届高三上学期期中数学试题(已下线)立体几何新定义(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练上海市杨浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷