解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，四边形
是平行四边形，
，点
为
的中点.
为线段
的中点，求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：
（ⅰ）直线
到平面
的距离；
（ⅱ）二面角
的余弦值.
条件①：
平面；
条件②：
；
条件③： 平面
平面
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
中，四边形是平行四边形，，点为的中点.
为线段的中点，求证：平面；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥
唯一确定，求：（ⅰ）直线
到平面的距离；（ⅱ）二面角
的余弦值.条件①：
平面；条件②：
；条件③： 平面
平面.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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解题方法
2 . 如图，七面体
中，菱形所在平面与矩形
交于
，平面
与平面交于直线
．
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当
为何值时，平面
平面
？并证明你的结论．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
中，菱形所在平面与矩形交于，平面与平面交于直线．
；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当
为何值时，平面平面？并证明你的结论．条件①：
；条件②：
．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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3 . 如图，在五面体中，底面为正方形，
，
，
，
为的中点，
为
的中点，
，
．
；
平面；
(3)求五面体的体积．
中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．
；
平面；(3)求五面体
的体积．
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解题方法
4 . 如图，在四棱锥中，平面
平面，四边形是梯形，
，
是棱
上的一点.
，求证：
平面
；
(2)若平面，且
，求直线与平面所成角的正弦值.
中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点.
，求证：平面；(2)若
平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-07-08更新
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529次组卷
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4卷引用：北京汉德三维集团2023-2024学年高一下学期第九次联考(期末)数学试卷
北京汉德三维集团2023-2024学年高一下学期第九次联考(期末)数学试卷福建省福州市闽侯县闽江口协作校（七校）2023-2024学年高一下学期7月期末联考数学试题（已下线）重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离 （九大题型）-2陕西省榆林市神木市第四中学2024-2025学年高二上学期第一次检测考试数学试题
名校
解题方法
5 . 如图，在四棱锥中，平面
平面，
，
，
，
，为棱的中点.
(1)证明：
∥平面；
(2)若
，
，
（i）求二面角
的余弦值；
（ii）在线段上是否存在点
，使得点到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，平面平面，，，，，为棱的中点. (1)证明：
∥平面；(2)若
，，（i）求二面角
的余弦值；（ii）在线段
上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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解题方法
6 . 已知四棱锥的底面为直角梯形，
，
，
，平面
平面，是
的中点．
(1)求证：
平面；
(2)求证：
平面；
(3)设棱与平面
交于点
，求
的值．
的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． (1)求证：
平面；(2)求证：
平面；(3)设棱
与平面交于点，求的值．
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2023-07-10更新
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1308次组卷
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3卷引用：北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题【北京专用】专题14立体几何与空间向量(第三部分)-高一下学期名校期末好题汇编（已下线）专题06 空间中点线面的位置关系6种常考题型归类（2） -期期末真题分类汇编（北京专用）
名校
解题方法
7 . 如图，已知直三棱柱
，
，
，
，点
为的中点.
平面
；
(2)求直线
与平面的距离.
，，，，点为的中点.
平面；(2)求直线
与平面的距离.
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2022-11-08更新
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1195次组卷
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5卷引用：北京市丰台区2022-2023学年高二上学期期中练习数学（A卷）试题
北京市丰台区2022-2023学年高二上学期期中练习数学（A卷）试题河北省唐山市第二中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题1 立体几何与解三角形（已下线）重难点专题15 空间中的五种距离问题-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）第11章：立体几何初步章末重点题型复习（2）-【帮课堂】（人教B版2019必修第四册）
名校
解题方法
8 . 如图，四棱锥的底面为菱形，
，
，底面，
，分别是线段，的中点，是线段上的一点．
(1)若
平面
，求证：为的中点；
(2)若是直线与平面
的交点，试确定
的值；
(3)若直线
与平面所成角的正弦值为
，求三棱锥
体积．
的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．(1)若
平面，求证：为的中点；(2)若
是直线与平面的交点，试确定的值；(3)若直线
与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
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名校
9 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面
与棱
交于点E.
(1)求证：
；
(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面
平面；条件②：
；条件③：
.
中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.(1)求证：
；(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
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2022-10-20更新
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2897次组卷
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15卷引用：北京市西城区2022届高三二模数学试题
北京市西城区2022届高三二模数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市东城区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习试题（2）（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题空间向量与立体几何中的高考新题型（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-3（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）模块十一 立体几何-2重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题（已下线）模块六 专题8 易错题目重组卷（重庆卷）陕西省延安市宜川县中学2023届高三一模理科数学试题（已下线）专题4 大题分类练（空间向量与立体几何）拔高能力练 高二期末
解题方法
10 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面
内的平行投影是四边形
.
(1)若平行四边形平行于投影面（如图
），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为
，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角
的平面角为
（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
在平面内的平行投影是四边形.图
图
图
(1)若平行四边形
平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
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