解题方法
1 . 阅读下面题目及其证明过程,在处填写适当的内容.
已知三棱柱,平面,,分别为 的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥.
解答:(1)证明: 在中,
因为 分别为的中点,
所以 ① .
因为 平面,平面,
所以 ∥平面.
(2)证明:因为 平面,平面,
所以 ② .
因为 ,
所以 .
又因为 ,
所以 ③ .
因为 平面,
所以 .
上述证明过程中,第(1)问的证明思路是先证“线线平行”,再证“线面平行”; 第(2)问的证明思路是先证 ④ ,再证 ⑤ ,最后证“线线垂直”.
已知三棱柱,平面,,分别为 的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥.
解答:(1)证明: 在中,
因为 分别为的中点,
所以 ① .
因为 平面,平面,
所以 ∥平面.
(2)证明:因为 平面,平面,
所以 ② .
因为 ,
所以 .
又因为 ,
所以 ③ .
因为 平面,
所以 .
上述证明过程中,第(1)问的证明思路是先证“线线平行”,再证“线面平行”; 第(2)问的证明思路是先证 ④ ,再证 ⑤ ,最后证“线线垂直”.
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解题方法
2 . 用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影,由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影,投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示,已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
图
图
图
(1)若平行四边形平行于投影面(如图),求证:四边形是平行四边形;
(2)在图中作出平面与平面的交线(保留作图痕迹,不需要写出过程);
(3)如图,已知四边形和平行四边形的面积分别为,平面与平面的交线是直线,且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为(为锐角),猜想并写出角的余弦值(用表示),再给出证明.
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解题方法
3 . 如图,在直角梯形中,,,,并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF.(1)求证:直线平面ADF;
(2)求证:直线平面ADF;
(3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
(2)求证:直线平面ADF;
(3)当平面平面ABEF时,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使平面ADE与平面BCE垂直.并证明你的结论.
条件①:;
条件②:;
条件③:.
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2022-07-08更新
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1248次组卷
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11卷引用:北京市丰台区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题
北京市丰台区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题(已下线)7.2 空间几何中的垂直(精练)(已下线)7.1 空间几何中的平行与垂直(精讲)(已下线)高考新题型-立体几何初步(已下线)8.6.1 空间直线、平面的垂直(精练)-2022-2023学年高一数学一隅三反系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)模块三 专题9(劣构题)拔高能力练(北师大版)(已下线)模块三 专题9(劣构题)基础夯实练(人教B)(已下线)模块三 专题9(劣构题)拔高能力练人教A版)(已下线)2023年高考全国乙卷数学(理)真题变式题16-20(已下线)模块三 专题10(劣构题)拔高能力练(苏教版)(已下线)专题06 空间中点线面的位置关系6种常考题型归类(1)-期期末真题分类汇编(北京专用)
解题方法
4 . 阅读下面题目及其解答过程.
如图,在直三棱柱中,,D,E分别为BC,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:.
解:(1)取的中点F,连接EF,FC,如图所示.
在中,E,F分别为,的中点,
所以,.
由题意知,四边形为 ① .
因为D为BC的中点,所以,.
所以,.
所以四边形DCFE为平行四边形,
所以.
又 ② ,平面,
所以,平面.
(2)因为为直三棱柱,所以平面ABC.
又平面ABC,所以 ③ .
因为,且,所以 ④ .
又平面,所以.
因为 ⑤ ,所以.
以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).
如图,在直三棱柱中,,D,E分别为BC,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:.
解:(1)取的中点F,连接EF,FC,如图所示.
在中,E,F分别为,的中点,
所以,.
由题意知,四边形为 ① .
因为D为BC的中点,所以,.
所以,.
所以四边形DCFE为平行四边形,
所以.
又 ② ,平面,
所以,平面.
(2)因为为直三棱柱,所以平面ABC.
又平面ABC,所以 ③ .
因为,且,所以 ④ .
又平面,所以.
因为 ⑤ ,所以.
以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).
空格序号 | 选项 |
① | A.矩形 B.梯形 |
② | A.平面 B.平面 |
③ | A. B. |
④ | A.平面 B.平面 |
⑤ | A. B. |
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5 . 如图,四棱锥中,底面是梯形,,面,是等腰三角形,,,是的中点.
(1)求证:;
(2)设与所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角为,从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件,求四棱锥的体积.
① ; ② ; ③ .
(1)求证:;
(2)设与所成的角为,直线与平面所成的角为,二面角为,从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知条件,求四棱锥的体积.
① ; ② ; ③ .
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2023-04-14更新
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1053次组卷
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3卷引用:北京市延庆区2023届高三一模数学试题
名校
解题方法
6 . 如图,在三棱柱中,平面平面,侧面是边长为2的正方形,分别为的中点.
(1)证明:面
(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中,完成题目所给的问题.
①直线与平面所成角的大小为;②三棱锥的体积为;③. 若选择条件___________.
求(i)求二面角的余弦值;
(ii)求直线与平面的距离.
(1)证明:面
(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中,完成题目所给的问题.
①直线与平面所成角的大小为;②三棱锥的体积为;③. 若选择条件___________.
求(i)求二面角的余弦值;
(ii)求直线与平面的距离.
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2023-01-03更新
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874次组卷
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3卷引用:北京市海淀实验中学2023届高三上学期期末数学试题
北京市海淀实验中学2023届高三上学期期末数学试题第八章立体几何初步章节验收测评卷-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练(人教A版2019必修第二册)(已下线)重难点突破02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离(四大题型)
名校
解题方法
7 . 如图,在四棱锥中,四边形是平行四边形,点F为的中点.
(1)已知点G为线段的中点,求证:CF∥平面;
(2)若,直线与平面所成的角为,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知,使四棱锥唯一确定,求:
(ⅰ)直线到平面的距离;
(ⅱ)二面角的余弦值.
条件①:平面;
条件②:;
条件③:平面平面.
(1)已知点G为线段的中点,求证:CF∥平面;
(2)若,直线与平面所成的角为,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知,使四棱锥唯一确定,求:
(ⅰ)直线到平面的距离;
(ⅱ)二面角的余弦值.
条件①:平面;
条件②:;
条件③:平面平面.
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2023-01-04更新
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946次组卷
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5卷引用:北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题
北京市海淀区2022-2023学年高二上学期期末练习数学试题北京市中央民族大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题北京市西城区北师大二附中2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(已下线)北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21河南省郑州市第一〇二高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
8 . 如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,点在棱上.
条件①:;
条件②:平面平面.
从条件①和②中选择一个作为已知,解决下列问题:
(1)判断与是否垂直,并证明;
(2)若点为棱的中点,点在直线上,且点到平面的距离为,求线段的长.
(3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
注:若选择①和②分别作答,按选择①给分.
条件①:;
条件②:平面平面.
从条件①和②中选择一个作为已知,解决下列问题:
(1)判断与是否垂直,并证明;
(2)若点为棱的中点,点在直线上,且点到平面的距离为,求线段的长.
(3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
注:若选择①和②分别作答,按选择①给分.
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2022-11-13更新
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523次组卷
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3卷引用:北京市海淀区北京第一零一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
北京市海淀区北京第一零一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题湖北省襄阳市老河口市第一中学2022-2023学年高二上学期元月月考数学试题(已下线)第五章 破解立体几何开放探究问题 专题二 立体几何开放题的解法 微点2 立体几何开放题的解法综合训练【基础版】
解题方法
9 . 如图①,在梯形中,,,,为的中点,以为折痕把折起,连接,,得到如图②的几何体,在图②的几何体中解答下列两个问题.
(1)证明:;
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件,求二面角的余弦值.
①四棱锥的体积为2;
②直线与所成角的余弦值为.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
(1)证明:;
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件,求二面角的余弦值.
①四棱锥的体积为2;
②直线与所成角的余弦值为.
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分.
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2022-04-08更新
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2358次组卷
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5卷引用:2023届北京市高考数学仿真模拟试卷1
2023届北京市高考数学仿真模拟试卷1山东省青岛市2022届三下学期一模数学试题(已下线)临考押题卷01-2022年高考数学临考押题卷(新高考卷)(已下线)专题8-2 立体几何中的角和距离问题(含探索性问题)-2(已下线)模块四 专题7 高考新题型(劣构题专训)拔高能力练(人教A)
解题方法
10 . 阅读下面题目及其解答过程.
以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个符合推理,请选出符合推理的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).
如图,已知正方体. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:直线与平面不平行. 解:(Ⅰ)如图,连接. 因为为正方体, 所以平面. 所以①___________. 因为四边形为正方形, 所以②__________. 因为, 所以③____________. 所以. (Ⅱ)如图,设,连接. 假设平面. 因为平面,且平面平面④____________, 所以⑤__________. 又, 这样过点有两条直线都与平行,显然不可能. 所以直线与平面不平行. |
空格序号 | 选项 |
① | A. B. |
② | A. B. |
③ | A.平面 B.平面 |
④ | A. B. |
⑤ | A. B.与为相交直线 |
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2022-03-11更新
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701次组卷
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2卷引用:北京市第一次普通高中2022届高三学业水平合格性考试数学试题