解题方法
1 . 如图①，在棱长为1的正方体
中，E是棱
上的一个动点．
(1)求证：三棱锥
的体积是定值；
(2)是否存在点E，使得
平面
，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段
（不包括两个端点）上有一个动点N，过点
、
、
作正方体的截面
．
①判断截面的形状，并说明理由；
②当截面的面积取得最小值时，求点N的位置．
中，E是棱上的一个动点．(1)求证：三棱锥
的体积是定值；(2)是否存在点E，使得
平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；(3)定义：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段．
根据以上定义及性质解决如下问题：
如图②中，M为线段
的中点，线段（不包括两个端点）上有一个动点N，过点、、作正方体的截面．①判断截面
的形状，并说明理由；②当截面
的面积取得最小值时，求点N的位置．
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名校
解题方法
2 . 在边长为
的正方形
中，
分别为
、
的中点，
分别为、
的中点，现沿
、
、
折叠，使
三点重合，重合后的点记为
，构成一个三棱锥.
(1)请判断
与平面
的位置关系，并给出证明；
(2)求四棱锥
的体积.
的正方形中，分别为、的中点，分别为、的中点，现沿、、折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥.(1)请判断
与平面的位置关系，并给出证明；(2)求四棱锥
的体积.
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名校
解题方法
3 . 如图，在棱长为1的正方体中，E是棱上的一个动点.
(1)判断三棱锥的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；
(2)是否存在点E，使得平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；
(3)过点和C作正方体的截面.①判断截面的形状，并求出截面面积的最小值；②当截面的面积取最小值时，在线段
上是否存在一个动点M，使得
，若存在求出M的位置，若不存在请说明理由.
中，E是棱上的一个动点.(1)判断三棱锥
的体积是否为定值，若是求出其体积，若不是说明理由；(2)是否存在点E，使得
平面，若存在请找出点E的位置，若不存在，说明理由；(3)过点
和C作正方体的截面.①判断截面的形状，并求出截面面积的最小值；②当截面的面积取最小值时，在线段上是否存在一个动点M，使得，若存在求出M的位置，若不存在请说明理由.
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21-22高一·湖南·课后作业
解题方法
4 . 如图，已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
，且
，
．
(2)求证：平面
平面ABCD．
的底面为直角梯形，，，且，．
(2)求证：平面
平面ABCD．
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2022-02-24更新
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342次组卷
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6卷引用：10.4 平面与平面间的位置关系（第1课时）（七大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）
（已下线）10.4 平面与平面间的位置关系（第1课时）（七大题型）（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）（已下线）复习题四2（已下线）第11讲空间直线、平面的垂直（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）湘教版（2019）必修第二册课本习题第4章复习题北师大版（2019）必修第二册课本习题第六章复习题（已下线）复习题六
5 . 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为2
，底面半径为2．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝
，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值，
，底面半径为2．(1)求该圆锥的侧面积；
(2)设OA、OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB＝
，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值，
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2022-05-20更新
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705次组卷
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12卷引用：上海市长宁区2021届高三上学期一模数学试题
上海市长宁区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）热点06 立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）专题2.5 简单几何体【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）上海外国语大学附属大境中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海市大同中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题上海市吴淞中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）第10讲 柱、锥、台的表面积（核心考点讲与练）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第三册）安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学(文)试题（已下线）黄金卷01-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）陕西省西安市第三中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题（已下线）第13章 立体几何初步（综合测试）-2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练（苏教版2019必修第二册）沪教版(2020) 必修第三册 高效课堂 第十一章 每周一练（2）
名校
解题方法
6 . 已知正方体的棱长为a，E､F分别为棱
､
的中点，P为体对角线
所在直线上一动点.
(1)作出该正方体过点E､F且和直线垂直的截面，并证明该截面和直线垂直；
(2)求出△EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值；
(3)若动点M在直线EF上运动，动点N在平面
上运动，求
的最小值.
的棱长为a，E､F分别为棱､的中点，P为体对角线所在直线上一动点.(1)作出该正方体过点E､F且和直线
垂直的截面，并证明该截面和直线垂直；(2)求出△EFP绕直线EF旋转而成的几何体体积的最小值；
(3)若动点M在直线EF上运动，动点N在平面
上运动，求的最小值.
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2021-12-24更新
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1006次组卷
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3卷引用：上海市奉贤中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题
上海市奉贤中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第05讲线线、线面、面面垂直的判定与性质（核心考点讲与练）（2）河南省安阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第二次阶段考试数学试题
名校
解题方法
7 . 空间中有四个球，它们的半径分别是2､2､3､3，每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求这个小球的半径.
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2021-07-26更新
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219次组卷
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3卷引用：上海市实验学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题
13-14高三上·甘肃·阶段练习
8 . 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，
，，
，
．与平面
不垂直；
(2)证明：平面平面；
(3)如果
，二面角
等于
，求二面角
的大小．
的底面为直角梯形，，，，．
与平面不垂直；(2)证明：平面
平面；(3)如果
，二面角等于，求二面角的大小．
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2024-01-16更新
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368次组卷
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7卷引用：上海市复旦中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市复旦中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（已下线）2014届甘肃西北师大附中高三11月月考理科数学试卷（已下线）2014届甘肃省西北师大附中高三11月月考理科数学试卷（已下线）第15讲 8.6.3平面与平面垂直（第2课时）-【帮课堂】（人教A版2019必修第二册）（已下线）13.2.4 平面与平面的位置关系（2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 单元综合检测（重难点）-《重难点题型·高分突破》（苏教版2019必修第二册）（已下线）第13章 立体几何初步 章末题型归纳总结 （2）-【帮课堂】（苏教版2019必修第二册）
名校
9 . 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，
，
，
，
.
(1)求证：
平面BCE；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)线段CE上是否存在点G，使得
平面BCF？请说明理由.
，，，.(1)求证：
平面BCE；(2)求二面角
的余弦值；(3)线段CE上是否存在点G，使得
平面BCF？请说明理由.
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2021-12-21更新
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1050次组卷
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13卷引用：上海市进才中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题
上海市进才中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题【全国百强校】天津市耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学(理)试题【百强校】云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题四川省乐山市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题广东省广州市第八十九中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题北京市中央民族大学附属中学2022届高三12月月考数学试题重庆市暨华中学校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）易错点10 立体几何-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）北京市育才学校2022届高三下学期仿真测试数学试题北京市第二中学2022-2023学年高二下学期第六学段（期末）考试数学试题广东省广州市培英中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）北京市第四中学2023~2024学年高二上学期期中考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题
名校
10 . 已知四棱锥的底面为菱形，且
，
，
，
与
相交于点
.
（1）求证：
底面；
（2）求直线
与平面
所成的角
的值；
（3）求平面与平面
所成二面角
的值.（用反三角函数表示）
的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：
底面；（2）求直线
与平面所成的角的值； （3）求平面
与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）
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