解题方法
1 . 已知
分别是空间四边形
的边
的中点.
四点共面;
(2)用向量法证明:
平面
;
(3)设
是
和
的交点,求证:对空间任一点
,有
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42c2d86d8daea5e652d99fe1c6bc3f9a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a337a934b801730321f67b0e5a0b144f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42c2d86d8daea5e652d99fe1c6bc3f9a.png)
(2)用向量法证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/debdc6632a4877e5131d3da25cda8b89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/611f100dcfa7803db6eb233e2e7f2dab.png)
(3)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31e55e398e8520d8a36fb5a625a085b8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c83f1f880e5ffbff036953acaca90c41.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f205863771fab4f202ae24c5a6f7a747.png)
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2023-09-18更新
|
316次组卷
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22卷引用:人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1~1.3节综合训练
人教A版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1~1.3节综合训练人教B版(2019) 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 第1.1节 综合训练(已下线)专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)人教A版(2019) 选择性必修第一册 新高考名师导学 第一章 复习参考题 1北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第三章 §2,§3 综合训练(已下线)复习参考题 1沪教版(2020) 选修第一册 领航者 第3章 3.2 第1课时 向量共面的充要条件空间向量基本定理第一章+空间向量与立体几何(基础过关)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教B版2019选择性必修第一册)(已下线)1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(讲)- 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(已下线)1.2 (整合练)空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第02讲 空间向量基本定理(教师版)-【帮课堂】(已下线)专题二 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(人教A版2019选择性必修第一册)1.2 空间向量基本定理练习(已下线)第02讲 空间向量基本定理(5大考点8种解题方法)-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)高二上学期期中【易错60题考点专练】(选修一全部内容)-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略(人教A版2019选修第一册)人教A版(2019)选择性必修第一册课本习题第一章复习参考题(已下线)高二上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)模块四 专题4 大题分类练 《空间向量与立体几何》基础夯实练陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期中数学试题(已下线)专题02空间向量基本定理(2个知识点3种题型)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教A版2019选修第一册)
21-22高二·湖南·课后作业
2 . 阅读“多知道一点:平面方程”,并解答下列问题:
(1)建立空间直角坐标系,已知
,
,
三点,而
是空间任意一点,求A,B,C,P四点共面的充要条件.
(2)试求过点
,
,
的平面ABC的方程,其中a,b,c都不等于0.
(3)已知平面
有法向量
,并且经过点
,求平面
的方程.
(4)已知平面
的方程为
,证明:
是平面
的法向量.
(5)①求点
到平面
的距离;
②求证:点
到平面
的距离
,并将这个公式与“平面解析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较.
(1)建立空间直角坐标系,已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33b5103a4c35ab0c395c68690a300023.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/adf322f683d50ecd3c7d4d5996122726.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d1b82ad92798b264062c062f4a9a1a5c.png)
(2)试求过点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd3ea554707fa3fc12fc9de51c94e4fa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5622d4be6bba8c7a6851dc082ef34fd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d1f4b53c90e4c31dd35b4bb548c5193.png)
(3)已知平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b163c34a920cb649829c376e7870007a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33b5103a4c35ab0c395c68690a300023.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
(4)已知平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a0cbd6b024b3fdff2f5fb5602da1a3a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27e0ae1c14104ee9985e3ba31c604531.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
(5)①求点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ae715c996c1a6b5e35a3807c671bd6e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bd24c686fbaaa68705d654b880481ffe.png)
②求证:点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e874a5821372c21a768cd1f5e20536d7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a0cbd6b024b3fdff2f5fb5602da1a3a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c828e62664e7373ed1f6dde8aa9653c.png)
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3 . 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/30/2883785260703744/2885873556455424/STEM/1c8f5b2d-aaa7-494e-86b5-cbcfa9ab717e.png?resizew=234)
(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;
(2)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/12/30/2883785260703744/2885873556455424/STEM/1c8f5b2d-aaa7-494e-86b5-cbcfa9ab717e.png?resizew=234)
(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;
(2)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ec1696ba7e9fc3f3b9837032c87f7fc8.png)
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2023高三·全国·专题练习
4 . 如图四棱锥
,且
,平面
平面
,且
是以
为直角的等腰直角三角形,其中
为棱
的中点,点
在棱
上,且
.求证:
四点共面.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66d8f4270ac3c1844288bb5cb82e81ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/694e6bc99d14c7d9105928d3a0ccf0c3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/342d452a7b850cd3a15b23619ad39bd7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36aae82d53f2a35d2f95f467bd5b76cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/34f4ea9203ad9cd37c444cf1867c8746.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0629ce42392a7fe9be21d25c39c3e64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c3c11de81d6b7d9cb6b34f67aba11fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/96b3d919fe28e81cc33c049bd4956647.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/11/14/3367848286707712/3369243855331328/STEM/8132d4941e6a4f5aaef3629c23250e31.png?resizew=140)
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名校
解题方法
5 . 对于空间向量
,定义
,其中
表示x,y,z这三个数的最大值.
(1)已知
,
.
①直接写出
和
(用含
的式子表示);
②当
,写出
的最小值及此时
的值;
(2)设
,
,求证:
;
(3)在空间直角坐标系
中,
,
,
,点Q是
内部的动点,直接写出
的最小值(无需解答过程).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b303ef66609858e8ab234b6dabccba4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e382f70d741ee01c165391ce980155d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a4461408813c1476a8a8073c83b8989.png)
(1)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23056c429159c0198f865ff11972d8df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5e17d2355419564f6d9737295412b58c.png)
①直接写出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9873960d64934875139754efbdfe951d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13af5f843689a63bc176c2d2171b6a1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
②当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53168695826b0a33a23067b76173c7e5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/780ef5119f58f853ce9dd2b9176ffdde.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/778ae4468d857c229073875e0ee0ce31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6772fa3937b97d9ec3aec1ea2ea143b5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/95086cc97ef93f5166489b3bc47e1911.png)
(3)在空间直角坐标系
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5e336d6ca2cae3d6e6c3810d7e521a4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b32ab04dd852329d5918b177c199eee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee736aec4313d04a5921ed7e5800b3b7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d04a00e46c1ffb335f73506041c66dc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/084fc7655647b596d07e80269d086e5a.png)
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20-21高二·江苏·课后作业
解题方法
6 . 如图,从
所在平面外一点O作向量
.求证:
四点共面;
(2)平面
平面
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5138a9f70d5e8b0580e30fef6eb7baef.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5db67a7e7261455096b63f2bd9073cf9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50980a3c7c299a994c9369e6c8403826.png)
(2)平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53dcc9ef6ca9a19d20ada0f3024e370a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
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2023-08-25更新
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451次组卷
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10卷引用:6.1空间向量及其运算
(已下线)6.1空间向量及其运算苏教版(2019) 选修第二册 名师导学 第六章 习题6.1(已下线)6.1.3共面向量定理(1)(已下线)6.1.3 共面向量定理-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)专题1.5 空间向量的应用【十大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)苏教版(2019)选择性必修第二册课本习题 习题6.1(已下线)考点巩固卷18 空间向量与立体几何(九大考点)(已下线)考点10 空间向量的应用 2024届高考数学考点总动员【练】(已下线)专题08 空间向量基底法在立体几何问题中的应用4种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
7 . 如图所示,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,点E,F,G,H分别为
,
,
,
的重心.求证:E,F,G,H四点共面.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2205cffebf8c4d5f81d15ed7b85c8936.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c025ee3317be1099b7bf03a11e37ed4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/177678001b2ccde1db8f57fa5e017002.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac8fe4026f1a0745ab9aa9fe64f0e482.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/8/17/6c213aeb-e5bb-4bdd-8aac-31cf2323417f.png?resizew=169)
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2023-08-17更新
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522次组卷
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10卷引用:1.1.1+空间向量及其线性运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)
(已下线)1.1.1+空间向量及其线性运算-2020-2021学年高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)北师大版(2019) 选修第一册 数学奇书 第三章 空间向量与立体几何 §3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量基本定理(已下线)6.1 空间向量及其运算(4)宁夏石嘴山三中2018-2019学年高二(上)第二次月考模拟试卷数学理科试题(已下线)1.1 空间向量及其运算1.1空间向量及其运算河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题陕西省西安市长安区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(已下线)考点巩固卷18 空间向量与立体几何(九大考点)贵州省都匀兴华中学2023-2024学年高二上学期阶段测试(一)数学试题
名校
解题方法
8 . 如图,已知平行六面体
的侧棱长为3,底面是边长为4的菱形,且
,点
,
分别在
和
上.
(1)若
,
,求证:
,
,
,
四点共面;
(2)求
;
(3)若
,点
为线段
上(包括端点)的动点,求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9f845e679b1c38bb748338eb60a866a0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d1859959fdb4c5edd8056893f94a10a0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e3334853138fb74687d66b1e45f2fd9.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/11/26/d1d98715-4bea-471a-a34a-6001d99828b5.png?resizew=163)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e3d1dcbea3bc1372cb76dbd18e30162.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfc8e4d826dc7b10b7379d1d6ac27f57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1241216f3c1cb5e73043dd1037f556d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09a5cb8f22b10cb39a98bcae90cdc7d7.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e3d1dcbea3bc1372cb76dbd18e30162.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22adbc0da438220f9cace11b629d799b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49b50357a6545cae8348e3059312f520.png)
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2023-11-03更新
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865次组卷
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3卷引用:3.4.3 求角的大小(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)
(已下线)3.4.3 求角的大小(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
2020高三·全国·专题练习
解题方法
9 . 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)
平面EFGH.
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)
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2023-10-02更新
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224次组卷
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17卷引用:专题1.1 空间向量及其运算-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮(人教A版2019选择性必修第一册)
(已下线)专题1.1 空间向量及其运算-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学上学期同步课堂习题测试(人教A版2019选择性必修第一册)人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第一章 专项把关练(已下线)6.3空间向量的应用苏教版(2019) 选修第二册 名师导学 第六章 本章复习(已下线)专题03 共面向量定理(重点突围)-【学霸满分】2022-2023学年高二数学下学期重难点专题提优训练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)考点39 空间向量的运算与应用(考点)-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题(已下线)第01讲 空间向量及其运算(教师版)-【帮课堂】(已下线)1.4 (分层练)空间向量的应用-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)专题1.1 空间向量及其线性运算【八大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)苏教版(2019)选择性必修第二册课本习题第6章复习题(已下线)高二上学期第一次月考十八大题型归纳(拔尖篇)(1)(已下线)高二上学期期中考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)考点10 空间向量的应用 2024届高考数学考点总动员【讲】(已下线)专题01 空间向量及其应用常考题型归纳(1)(已下线)专题01 空间向量及其运算5种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第六章 空间向量与立体几何(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(苏教版2019选择性必修第二册)