解题方法
1 . 如图，已知正方体
的棱长为1，点
为棱
的中点，点
在正方形
内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：
①存在点满足
；
②存在点满足
与平面
所成角的大小为
；
③存在点满足
；
其中正确的个数是（ ）．
的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点
满足；②存在点
满足与平面所成角的大小为；③存在点
满足；其中正确的个数是（ ）．
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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解题方法
2 . 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线
上的动点（点P与点A，
不重合）．给出下列结论：
平面
；
②对任意点P，都有
；
③
面积的最小值为
；
④若
是平面
与平面
的夹角，
是平面与平面
的夹角，则对任意点P，都有
．其中所有正确结论的序号是_________ ．
中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论：
平面；②对任意点P，都有
；③
面积的最小值为；④若
是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是
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2024-04-10更新
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713次组卷
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3卷引用：上海市嘉定区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
名校
3 . 已知正方体的棱长为1，P是对角面
（包含边界）内一点，且
.
(1)求
的长度；
(2)是否存在点，使得平面
平面
？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由；
(3)过点作平面
与直线垂直，求平面与平面
所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长.
的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.(1)求
的长度；(2)是否存在点
，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由；(3)过点
作平面与直线垂直，求平面与平面所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长.
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名校
解题方法
4 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）
的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面
的方程为
．
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
(2)已知直线
过曲面上一点
，以
为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(3)已知曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值．
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；(2)已知直线
过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；(3)已知曲面
可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
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5 . 在
中，
，
．若空间点满足
，则直线
与平面
所成角的正切的最大值为__________ .
中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为
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2024-01-24更新
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168次组卷
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2卷引用：上海外国语大学附属浦东外国语学校2024届高三下学期3月月考数学试题
6 . 在梯形中，
，
，
，E为
的中点，如图（1）．将
沿
折起至
的位置，使平面
平面
，如图（2）．
(1)求证：
平面
；(2)若F为线段PB上的点（不含端点），且
，设二面角
的平面角为
，且
，求
的值．
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7 . 如图，四面体的每条棱长都等于
，
分别是
上的动点，则
的最小值是________ ，此时
________ ．
的每条棱长都等于，分别是上的动点，则的最小值是
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解题方法
8 . 如图，在三棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
为中点，
平面
为内的动点(含边界).
(1)求平面
与平面夹角的正弦值;
(2)若
平面，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围.
中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界).(1)求平面
与平面夹角的正弦值;(2)若
平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
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2023-11-26更新
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447次组卷
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2卷引用：上海市实验学校东滩高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
名校
解题方法
9 . 如图，在中，
，过中点的动直线与线段交于点
，将
沿直线向上翻折至
，使得点
在平面
内的射影
落在线段
上，则斜线
与平面所成角的正弦值的取值范围为__________ .
中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为
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2023-11-25更新
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296次组卷
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4卷引用：第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）3.4.3 求角的大小(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）四川省成都市树德中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点2 翻折、旋转中的基本问题（二）
名校
解题方法
10 . 三棱锥中，
两两垂直，
，点
为平面内的动点，且满足
，则三棱锥
体积的最大值______ ，若记直线
与直线的所成角为，则
的取值范围为______ .
中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值与直线的所成角为，则的取值范围为
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2023-11-19更新
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208次组卷
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4卷引用：第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）3.4.3 求角的大小(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）辽宁省高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题辽宁省协作校2023-2024学年高二上学期期中大联考数学试题
