名校
1 . 已知：四棱锥
的底面是直角梯形，
平面
，
，
，
，
，点E在棱
上，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)若F是棱
上的点，满足
与平面所成角的正弦值为
，求
的值．
的底面是直角梯形，平面，，，，，点E在棱上，．(1)求证：
平面；(2)求证：
；(3)若F是棱
上的点，满足与平面所成角的正弦值为，求的值．
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名校
解题方法
2 . 已知两条异面直线
对应的方向向量分别是
，
，则异面直线的夹角为___________ ．
对应的方向向量分别是，，则异面直线的夹角为
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2022-11-15更新
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321次组卷
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2卷引用：北京市丰台区第十二中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
22-23高二上·北京·期中
名校
3 . 在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点，则直线
和
所成角的余弦值是（ ）
中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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名校
解题方法
4 . 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，
，点在棱上.
；
条件②：平面
平面.
从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：
(1)判断
与
是否垂直，并证明；
(2)若点为棱的中点，点在直线
上，且点到平面
的距离为
，求线段
的长.
(3)求直线
与平面所成角的正弦值的取值范围.
注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.
中，底面为平行四边形，，点在棱上.
；条件②：平面
平面.从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：
(1)判断
与是否垂直，并证明；(2)若点
为棱的中点，点在直线上，且点到平面的距离为，求线段的长.(3)求直线
与平面所成角的正弦值的取值范围.注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.
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2022-11-13更新
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524次组卷
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3卷引用：北京市海淀区北京第一零一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
北京市海淀区北京第一零一中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题湖北省襄阳市老河口市第一中学2022-2023学年高二上学期元月月考数学试题（已下线）第五章 破解立体几何开放探究问题 专题二 立体几何开放题的解法 微点2 立体几何开放题的解法综合训练【基础版】
名校
解题方法
5 . 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱
的中点，G为面对角线
上的一个动点，则下列选项中不正确 的是（ ）
中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上的一个动点，则下列选项中A．三棱锥 的体积为定值 |
B．线段上存在点G，使 平面EFG |
C．线段上存在点G，使平面 平面 |
D．设直线FG与平面 所成角为 ，则 的最大值为 |
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6 . 在梯形ABCD中，
，
，
，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将
沿AC折起到
的位置，使得平面
⊥平面
.
(1)求证：
平面
(2)平面ABC与平面
夹角的余弦值
(3)线段
上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为
？若存在，求出
的值：若不存在，请说明理由.
，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点，将沿AC折起到的位置，使得平面⊥平面.(1)求证：
平面(2)平面ABC与平面
夹角的余弦值(3)线段
上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.
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解题方法
7 . 如图，正方体的棱长为2，E为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
的棱长为2，E为的中点．(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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2022-11-12更新
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103次组卷
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2卷引用：北京市顺义区第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
解题方法
8 . 如图，在边长为
的正方体中，
为线段的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面的距离；
(3)直线
与平面所成角的正弦值.
的正方体中，为线段的中点.(1)求证：
平面；(2)求点
到平面的距离；(3)直线
与平面所成角的正弦值.
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名校
解题方法
9 . 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PO⊥底面ABCD，
.点在棱上，
；
(1)当
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)当
取何值时，二面角
的正弦值为
.
.点在棱上，；
(1)当
，求直线与平面所成角的正弦值；(2)当
取何值时，二面角的正弦值为.
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名校
10 . 在正四棱柱ABCD—
中，
P为B1C1的中点.
(1)求异面直线AC与BP所成的角
(2)求直线AC与平面ABP所成的角
(3)求二面角
的余弦值
(4)求点B到平面APC的距离.
中，P为B1C1的中点.(1)求异面直线AC与BP所成的角
(2)求直线AC与平面ABP所成的角
(3)求二面角
的余弦值(4)求点B到平面APC的距离.
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