1 . 如图甲，在菱形与等腰直角中，，，，现将沿旋转，点旋转到点，如图乙，若．

(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦的绝对值，并据此求出平面在平面上投影的面积．

2 . 如图，，O分别是圆柱上、下底面圆的圆心，该圆柱的轴截面是边长为2的正方形ABCD，P，Q分别是其上、下底面圆周上的动点，已知P，Q位于轴截面ABCD的异侧，且．

(1)当A，P，，Q四点共面时，求；
(2)当时，求二面角的正弦值．

3 . 已知直角梯形形状如下，其中，，，．
   
(1)在线段CD上找出点F，将四边形沿翻折，形成几何体．若无论二面角多大，都能够使得几何体为棱台，请指出点F的具体位置（无需给出证明过程）．
(2)在（1）的条件下，若二面角为直二面角，求棱台的体积，并求出此时二面角的余弦值．

4 . 如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面与所截后剩余部分，且满足，，．

(1)当多长时，，证明你的结论；
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值．

5 . 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

6 . 如图，将等腰直角沿斜边旋转，使得到达的位置，且.

（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
（3）若在棱上存在点，使得，，在棱上存在点，使得，且，求的取值范围.

7 . 某建筑物的上层框图如图所示，其上下底面是平行的两正方形，上下底面的中心连线垂直于上下地面，且各侧棱均相等（即为正棱台），经测量得知，侧棱长为．

（1）求证；
（2）求二面角的余弦值．